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也说无网格方法
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开博一段时间了，走马观花，尽写些杂感随谈。父母大人看过之后教导曰：你在国外是留学的吗？怎么看你好像游手好闲啊……于是乎今天改邪归正，写一点对于研究的想法。有人曾提到在二十年前的北大，学生会把自己的博士论文题目贴到布告栏里面，曰：以文会友，肝胆相照，感兴趣者请到某某宿舍楼找某某探讨。而今我也效仿一下二十年前的北大学子，权且把博客当成布告栏，有感兴趣的诸君，欢迎指教。
今天想写写对于无网格方法（Meshfree Method）的一些看法。但是在进入正题之前，我想现谈谈另外一类力学分析中常用的方法，也就是摄动方法。记得两年前，在网上偶尔翻到了我国历届的自然科学一等奖的获奖名单，当然名单上是那些耳熟能详的名字和研究成果，诸如华罗庚的堆垒素数论，人工合成牛胰岛素，冯康的哈密尔顿系统辛几何算法等等，无不如雷贯耳。也许是自己对这些研究领域并不熟悉，即便到了现在潜意识中还是觉得这些研究是那样高深莫测。然而对于唯一一个自以为比较熟悉的获奖项目——钱伟长先生的圆形薄板大挠度理论——就觉的没有什么出奇的地方。这种问题现在找个有限元软件随便算一算就可以了，基本相当于一个力学或者工程方面研究生的作业题，而且用的也不是钱先生的方法。后来同师兄讨论这个问题，师兄说：“在当时研究领域，摄动方法是最流行的方法，钱先生的成果可以说是固体力学方面摄动方法发展的顶点，所以获得自然科学一等奖也不奇怪。以当时的条件，能处理大挠度等几何非线性问题，哪怕是对于非常有限的情况能求解，也是非常了不起的。而你现在已经掌握了更先进的数值方法，所以看到的更多的是这套理论的局限性。”师兄一席话胜读十年书，确实精辟而有力，圆满的回答了我的问题，但是也带来了新的问题：当时最潮流的摄动方法，能够支撑国家自然科学一等奖的摄动方法，现在到哪里去了呢？消失了，至少是颓萎了，对现代固体力学和结构分析的研究都没有很直接的影响，如果不刻意去找，即便我这种从事固体力学和结构分析研究的人也很难感受到这类方法的存在。然而当我回过头来看无网格方法，也看到了与摄动方法同样的轨迹。
无网格方法出现之前，有限元方法是固体和结构分析中应用最广泛的数值方法。我的导师在面试新博士的时候常常会问这个问题：有限元方法为什么要划分网格呢？结果据说很大一部分新科博士答不出所以然来。我们知道，对于一个很复杂的一维函数，在全域内直接进行逼近是不容易的，于是我们一般将其定义域划分成小段，在每一段是用较低阶次的差值，每段交界处满足某些连续性条件，就会得到一个较好的插值结果。一维函数要分段，二维三维的就划分成网格了，在每个小网格上用简单的插值函数表示全域上的复杂函数，这就是有限元方法基本出发点，也完成了微分方程求解的第一步，也就是近似解空间的构造。至于后面的伽辽金方法啦，势能泛函啦，刚度矩阵啦，都是在插值方法的基础上进行的固定套路。网格的引入将插值问题从整体引向了局部，这就大大减小了插值函数构造的难度，既然近似解空间顺利地构造了出来，那么后面的的求解就是顺理成章的事情了。于是有限远方法成了偏微分方程求解的首选方法，在力学和工程上获得了最广泛的应用。当然，有限元方法也有其自身的缺点，当然这些缺点也大都来源于网格。首先不是在所有的网格上都能构造出适定的插值函数来的，如果网格出现内凹等情况，那么就不能构造出适定的插值函数。即便在划分初始网格的时候充分注意保证不出现奇异的网格，后续若变形过大也很难保证变形后的网格不奇异，这就使得有限元方法在处理极端大变形的时候出现困难。其次，有限元插值函数的构造还需考虑网格之间的连续性，对于C0连续性，构造是十分简单的，但是一旦连续性要求提高，譬如要求C1连续性，那么插值函数的构造就变得异常困难，困难到迄今为止对于板壳问题也没有构造出完全满足C1连续性的单元。还有，如果计算过程中需要重新划分网格，譬如裂缝扩展问题或者自适应分析问题，网格的拓扑结构发生了变化，其计算成本机会变得非常大。
既然有限元方法也有这样那样的缺点，那么我们就希望解决这些问题。首先说这些问题都来源于网格，那么直接在有限元基础上对其进行改进，效果自然不会达到最好，于是研究者把革命的对象锁定在了网格上。几经尝试以后，一种基于点集的插值方法被研究者广泛采用，现今的无网格方法，一般就指的是这一类基于点集的数值方法。其实这一类方法很早就有人研究过，不过一直都不温不火地停留在计算数学的层面上，没有进入力学和应用领域。直到上世纪九十年代，TB发现了这类方法的潜力并发表了几篇代表性论文，解决了二维裂缝的端部场分析和扩展问题，才引起了研究者的广泛关注，并且诞生了一系列系统的研究，其中我美国这边的导师赖以扬名立万的工作就是他在九十年代中后期利用无网格方法进行固体大变形分析方面的工作。这类方法至少在某种程度上摈弃了网格，直接在点集上构造插值基函数，自然而然地解决了有限元方法所不能解觉得问题，譬如大变形，高阶连续性插值和自适应求解，特别是看到TB漂亮地解决了二维裂纹动态扩展问题，研究者和工程师无不欢呼雀跃，认为这一类方法是继有限元之后的下一代通用数值方法。我就是在这种情况下接触无网格方法的，并且带着对于新一代数值方法的渴求来到美国，投师无网格方法的重量级学者。然而，经过了一段时间的学习之后，现今的认识却与最初大相径庭，至少现在我不认为这类方法能够代替有限元方法成为下一代通用数值方法。因为我通过自己编程一步一步下来，发现较之于有限元方法，无网格方法的问题一点不比它的优点少。首先说无网格方法确实提高了插值的连续性，但同时也极大地提高了计算量，求解域内的每个点的插值系数都需要对相应节点耦合矩阵求逆，光滑性越高耦合矩阵的阶数就越高，相应的求逆就越耗费计算量，较之于有限元方法，这一部分计算负担实在太重。对于被奉为经典的二维裂缝扩展问题，仔细考察就会发现裂缝扩展问题的关键技术在于加强函数（enrichment）的采用，其实用不用无网格插值都可以，用有限元插值也没有任何问题，这就是后来发展的，也是现在最热门的扩展有限元方法（XFEM）。我找来找去，无网格方法的优势只在于极端大变形问题，譬如冲击、爆破等问题，无论如何也很难成为一种通用的被广泛接受的数值方法。所以我说我在无网格方法身上看到了与摄动方法同样的轨迹。很有可能在一番烈火烹油，鲜花着锦之后，就进入故纸堆，很难再进入后来研究者的视野。
写到这里我不禁有些害怕，我们现在做得东西是有意义的吗？若是自己奋发努力了几十年之后，做得东西对后人完全没有影响，那将是多么悲哀的事情。这种情绪困扰了我很久，直到某一天我才豁然开朗：我们所做得研究正如海水冻结形成冰山，由海水形成海冰的时候，谁也不知道哪一部分会最终露在水面以上，但是大部分冰山是要沉没在水面以下的，但是若是没有水面以下的部分，也无从支撑水面以上的部分，所以不要因为自己没有露在水面以上而悲哀，实际上水面以下的海冰也起了关键的作用，也不要看见大家都朝一头跑就认为那一块会露出水面，而实际上那个大头沉在水面下的可能性会更大。
（最后罗嗦一句，最近有篇文章被据稿，理由是这类研究课题不是最热门的，看到这个原因我有些哑然，真应该让那个编辑看看，历来的热门研究发展到最后都是怎么样的，呵呵，算了，改投个影响因子更高的吧）
https://blog.sciencenet.cn/blog-642-268244.html
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今天想写写对于无网格方法（Meshfree Method）的一些看法。但是在进入正题之前，我想现谈谈另外一类力学分析中常用的方法，也就是摄动方法。记得两年前，在网上偶尔翻到了我国历届的自然科学一等奖的获奖名单，当然名单上是那些耳熟能详的名字和研究成果，诸如华罗庚的堆垒素数论，人工合成牛胰岛素，冯康的哈密尔顿系统辛几何算法等等，无不如雷贯耳。也许是自己对这些研究领域并不熟悉，即便到了现在潜意识中还是觉得这些研究是那样高深莫测。然而对于唯一一个自以为比较熟悉的获奖项目——钱伟长先生的圆形薄板大挠度理论——就觉的没有什么出奇的地方。这种问题现在找个有限元软件随便算一算就可以了，基本相当于一个力学或者工程方面研究生的作业题，而且用的也不是钱先生的方法。后来同师兄讨论这个问题，师兄说：“在当时研究领域，摄动方法是最流行的方法，钱先生的成果可以说是固体力学方面摄动方法发展的顶点，所以获得自然科学一等奖也不奇怪。以当时的条件，能处理大挠度等几何非线性问题，哪怕是对于非常有限的情况能求解，也是非常了不起的。而你现在已经掌握了更先进的数值方法，所以看到的更多的是这套理论的局限性。”师兄一席话胜读十年书，确实精辟而有力，圆满的回答了我的问题，但是也带来了新的问题：当时最潮流的摄动方法，能够支撑国家自然科学一等奖的摄动方法，现在到哪里去了呢？消失了，至少是颓萎了，对现代固体力学和结构分析的研究都没有很直接的影响，如果不刻意去找，即便我这种从事固体力学和结构分析研究的人也很难感受到这类方法的存在。然而当我回过头来看无网格方法，也看到了与摄动方法同样的轨迹。
无网格方法出现之前，有限元方法是固体和结构分析中应用最广泛的数值方法。我的导师在面试新博士的时候常常会问这个问题：有限元方法为什么要划分网格呢？结果据说很大一部分新科博士答不出所以然来。我们知道，对于一个很复杂的一维函数，在全域内直接进行逼近是不容易的，于是我们一般将其定义域划分成小段，在每一段是用较低阶次的差值，每段交界处满足某些连续性条件，就会得到一个较好的插值结果。一维函数要分段，二维三维的就划分成网格了，在每个小网格上用简单的插值函数表示全域上的复杂函数，这就是有限元方法基本出发点，也完成了微分方程求解的第一步，也就是近似解空间的构造。至于后面的伽辽金方法啦，势能泛函啦，刚度矩阵啦，都是在插值方法的基础上进行的固定套路。网格的引入将插值问题从整体引向了局部，这就大大减小了插值函数构造的难度，既然近似解空间顺利地构造了出来，那么后面的的求解就是顺理成章的事情了。于是有限远方法成了偏微分方程求解的首选方法，在力学和工程上获得了最广泛的应用。当然，有限元方法也有其自身的缺点，当然这些缺点也大都来源于网格。首先不是在所有的网格上都能构造出适定的插值函数来的，如果网格出现内凹等情况，那么就不能构造出适定的插值函数。即便在划分初始网格的时候充分注意保证不出现奇异的网格，后续若变形过大也很难保证变形后的网格不奇异，这就使得有限元方法在处理极端大变形的时候出现困难。其次，有限元插值函数的构造还需考虑网格之间的连续性，对于C0连续性，构造是十分简单的，但是一旦连续性要求提高，譬如要求C1连续性，那么插值函数的构造就变得异常困难，困难到迄今为止对于板壳问题也没有构造出完全满足C1连续性的单元。还有，如果计算过程中需要重新划分网格，譬如裂缝扩展问题或者自适应分析问题，网格的拓扑结构发生了变化，其计算成本机会变得非常大。
既然有限元方法也有这样那样的缺点，那么我们就希望解决这些问题。首先说这些问题都来源于网格，那么直接在有限元基础上对其进行改进，效果自然不会达到最好，于是研究者把革命的对象锁定在了网格上。几经尝试以后，一种基于点集的插值方法被研究者广泛采用，现今的无网格方法，一般就指的是这一类基于点集的数值方法。其实这一类方法很早就有人研究过，不过一直都不温不火地停留在计算数学的层面上，没有进入力学和应用领域。直到上世纪九十年代，TB发现了这类方法的潜力并发表了几篇代表性论文，解决了二维裂缝的端部场分析和扩展问题，才引起了研究者的广泛关注，并且诞生了一系列系统的研究，其中我美国这边的导师赖以扬名立万的工作就是他在九十年代中后期利用无网格方法进行固体大变形分析方面的工作。这类方法至少在某种程度上摈弃了网格，直接在点集上构造插值基函数，自然而然地解决了有限元方法所不能解觉得问题，譬如大变形，高阶连续性插值和自适应求解，特别是看到TB漂亮地解决了二维裂纹动态扩展问题，研究者和工程师无不欢呼雀跃，认为这一类方法是继有限元之后的下一代通用数值方法。我就是在这种情况下接触无网格方法的，并且带着对于新一代数值方法的渴求来到美国，投师无网格方法的重量级学者。然而，经过了一段时间的学习之后，现今的认识却与最初大相径庭，至少现在我不认为这类方法能够代替有限元方法成为下一代通用数值方法。因为我通过自己编程一步一步下来，发现较之于有限元方法，无网格方法的问题一点不比它的优点少。首先说无网格方法确实提高了插值的连续性，但同时也极大地提高了计算量，求解域内的每个点的插值系数都需要对相应节点耦合矩阵求逆，光滑性越高耦合矩阵的阶数就越高，相应的求逆就越耗费计算量，较之于有限元方法，这一部分计算负担实在太重。对于被奉为经典的二维裂缝扩展问题，仔细考察就会发现裂缝扩展问题的关键技术在于加强函数（enrichment）的采用，其实用不用无网格插值都可以，用有限元插值也没有任何问题，这就是后来发展的，也是现在最热门的扩展有限元方法（XFEM）。我找来找去，无网格方法的优势只在于极端大变形问题，譬如冲击、爆破等问题，无论如何也很难成为一种通用的被广泛接受的数值方法。所以我说我在无网格方法身上看到了与摄动方法同样的轨迹。很有可能在一番烈火烹油，鲜花着锦之后，就进入故纸堆，很难再进入后来研究者的视野。
写到这里我不禁有些害怕，我们现在做得东西是有意义的吗？若是自己奋发努力了几十年之后，做得东西对后人完全没有影响，那将是多么悲哀的事情。这种情绪困扰了我很久，直到某一天我才豁然开朗：我们所做得研究正如海水冻结形成冰山，由海水形成海冰的时候，谁也不知道哪一部分会最终露在水面以上，但是大部分冰山是要沉没在水面以下的，但是若是没有水面以下的部分，也无从支撑水面以上的部分，所以不要因为自己没有露在水面以上而悲哀，实际上水面以下的海冰也起了关键的作用，也不要看见大家都朝一头跑就认为那一块会露出水面，而实际上那个大头沉在水面下的可能性会更大。
（最后罗嗦一句，最近有篇文章被据稿，理由是这类研究课题不是最热门的，看到这个原因我有些哑然，真应该让那个编辑看看，历来的热门研究发展到最后都是怎么样的，呵呵，算了，改投个影响因子更高的吧）
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