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“哥德尔不完全性定理”误解误用实例分析(1)

程京德

本文举例分析说明一些对“哥德尔不完全性定理”的误解误用。期待本文能够为逻辑学专业学者们不再“忽悠”，为大量的非逻辑学专业学者们及民间人士们不再“被忽悠”有所贡献。[微笑] 

哥德尔证明的两个重要定理的原始陈述如下 [1-8]：

命题IX(“第一不完全性定理”)：在命题VI中言及的所有形式系统中，都存在有受限谓词演算的不可判定问题（亦即，受限谓词演算的逻辑式，其普遍有效性以及其反例的存在性都不可证）。

命题XI(“第二不完全性定理”)：如果c是一个给定的递归且一致的逻辑式类，则表达“c是一致的”之内容的命题逻辑式不是c-可证的；特别地，P的一致性在P中不可证，在假设P是一致的前提下（如果不是，那么当然，任何言明都是可证的）。

[对于数理逻辑中形式系统/理论的概念不熟悉的读者，在阅读下面内容之前，最好先阅读一下笔者的科普文章 [9]。]

下面，笔者列举一些对这两个定理的误解误用实例，并分析说明这些实例都错在哪里。实例大都取自网上可以获得的文章及报道、科学网博文、以及微信公众号推文[10,11]。但是，那些借“哥德尔不完全性定理”之名实际上极其荒谬的无稽之谈，不在笔者的评价之列。

[出于就事论事，尊重各位世界级名人、逻辑学家/数学家、专业/非专业学者科学家、以及民间人士，下文中的举例一般都略去出典仅引用原文，批评也仅仅针对误解误用内容而完全无意针对任何个人。]

实例一 

看到笔者在文章[8]中介绍迈耶在2021年的工作结果（R#的一致性在系统内形式可证）之后，有朋友对笔者说，“关于R#的一致性在系统内形式可证是一个惊人的结果，推翻了哥德尔第二不完全性定理”。

说迈耶2021年工作结果“推翻了哥德尔第二不完全性定理”，这实际上反映了对哥氏第二不完全性定理之完整内容的误解。

依笔者理解，在逻辑学、数学、各门科学中，当我们说到一个新的研究结果“推翻”了一个先前的研究结论的时候，应该是在完全相同的前提条件之下，新结果否定（或者至少部分地否定）了旧结果。

仅从两者的结论来说，迈耶的结果的确完全否定了哥德尔的结果，但是，两者的结论所基于的前提条件则完全不同。哥德尔用于形式化皮亚诺算术的基础逻辑是经典数理逻辑一阶谓词演算，因为经典数理逻辑的爆发性，所以哥德尔在前提条件中必须预设一阶皮亚诺算术形式系统是一致的。迈耶用于形式化皮亚诺算术的基础逻辑是相关逻辑一阶谓词演算，得益于相关逻辑的準协调性，迈耶在前提条件中无须预设一阶相关皮亚诺算术形式系统是一致的。更重要的是，经典数理逻辑和相关逻辑在形式证明中可用的逻辑定理集合完全不同，前者仅仅是后者的一个真子集（对相关逻辑不熟悉的读者请参阅笔者科普文章[12-14]）。

所以，从定理完整内容来说，两者是对两种不同的形式系统的性质断定，相对独立，可以两立，互不否定。当然，如果从希尔伯特计划原本的目标来说，哥德尔给出的是一个否定性(negative)结果，而迈耶给出的是一个肯定性(affirmative)结果。

实例二 

如同笔者在文章[7]中言及的，Franzén 曾把“哥德尔第一不完全性定理”陈述为：“每个足够强的公理化理论或是不完全的，或是不一致的”，把“一致性”这个预设前提条件从定理的前提搬到了定理的结论之中。这是对“哥德尔第一不完全性定理”的一种典型的“歪曲”，把原来的定理内容“在对象系统中能够构造出形式不可判定命题”歪曲成了“不完全性和不一致性之两者择一而不可两立”。

同样如同笔者在文章[7]中言及的，与上述“歪曲”类似的还有，将“哥德尔第一不完全性定理”表述为：“一个包括初等数论的形式系统 P，如果是一致的那么就是不完全的。”

其它类似的说法还有，“对任一足够丰富的数学形式系统而言，如果它是相容的，则一定是不完全的”，“完全性与一致性不能两立”，“不可能同时满足完全性与一致性”，等等。

所有上面这些对“哥德尔第一不完全性定理”原本内容的歪曲和误解，都是源于无视或者至少轻视了哥氏定理的成立是基于经典数理逻辑这个形式化基础逻辑，而该基础逻辑是爆发的。

哥德尔原本想要证明皮亚诺算术的一致性，当他在工作进行中遇到困难进而猜测一阶皮亚诺算术形式系统有可能存在形式不可证命题并试图证明这一猜测时，他理所当然地必须预设一阶皮亚诺算术形式系统是一致的，因为经典数理逻辑的爆发性，若无此预设则任何命题都形式可证。所以，把“一致性”这个预设从“哥德尔第一不完全性定理”的前提条件移到其结论中去，无论是直陈还是纳入条件句前件，都混淆了事情的本质，都是“歪曲”和误解。

于是，所谓一致性与完全性的两立与否，就更是基于“歪曲”和误解的产物了。

实例三 

“希尔伯特在1900年就23个重要的数学问题发表了著名的演讲，对20世纪的数学产生了巨大的影响。这23个问题中，有一个是将物理学公理化。在我看来，这不是正确的方向。大约在1930年，一位名叫哥德尔的年轻数学家证明，将整个数学公理化的想法并不是完全正确的事情，这导致了数学、数理逻辑和哲学的伟大进步。(Hilbert in the year 1900 gave a famous speech about 23 important problems in mathematics, and that caused the tremendous influence on 20th century mathematics. One of these 23 was to axiomatize physics, in my opinion, that is not the right direction. Around 1930 there was a young mathematician named Gödel who showed that the whole idea of axiomatizing the whole mathematics is not quite right thing to do, that's a great development in mathematics, in mathematical logic and in philosophy.)”

上述引文是一位1950年代获得诺贝尔物理学奖的世界著名物理学家在2004年为清华学生授课讲到物理学公理化时所说的一段话，但是很遗憾，是对“哥德尔不完全性定理”的误解误用。

首先，仅从字面意义上来说，哥德尔从未证明“将整个数学公理化的想法并不是完全正确的事情”，哥德尔仅仅证明了，希尔伯特计划如果坚持有穷方法论限制，那么是行不通的，这促成了其他数理逻辑学家用超穷归纳法来实现希尔伯特计划。另外，如同笔者在科普文章[8]中介绍的，相关逻辑学家已经在另外一个方向（用相关逻辑作为形式化皮亚诺算术的基础逻辑）上来实现希尔伯特计划并且获得了积极的肯定性结果。

其次，哥德尔的工作结果以及其他数理逻辑学家的后续工作结果，与“将整个数学公理化的想法”正确与否无关。“想法”的正确与否，与“实现想法的计划”的成功或失败，应该是不同的两件事，姑且不论计划还没有失败。

再次，哥德尔的工作成果也从未“导致了数学、数理逻辑和哲学的伟大进步”（请参阅笔者系列科普文章[4-8]）。

实例四 

“这条定理可以按下面任何一种形式陈述：

GT 数学是不可穷尽的。

GT1 每个一致的形式数学理论一定包含不可判定的命题。

GT2 没有定理证明机器(或程序)能够只证明全部真的数学命题。

GT3 没有形式数学理论可以是既一致又完全的。

GT4 数学是机械上(或算法上)不可穷尽的(或不可完全的)。

如果我们把“数学”换成“算术”(即数论或关于自然数的理论，是纯数学中最简单和最基本的部分)，这些命题仍然为真。简单说来，哥德尔定理揭示了数学(甚至算术)的算法上的不可穷尽性(或不可完全性)。

(The theorem can be stated in any one of the following alternative forms: 

GT Mathematics is inexhaustible. 

GT1 Any consistent formal theory of mathmtatics must contain undecidable propositions. 

GT2 No theorem-proving computer (or program) can prove all and only the true propositions of mathematics. 

GT3 No formal system of mathematics can be both consistent and complete. 

GT4 Mathematics is mechanically (or algorithmically) inexhaustible (or incompletable).

These propositions remain true when we replace ‘mathematics’ by ‘arithmetic’ (i.e., number theory or the theory of natural numbers, the simplest and the most fundamental part of pure mathm.atics). In brief, Gödel's theorem reveals the algorithmic inexhaustibility (or incompletability) of mathematics (and even of arithmetic).) ”

上述实例的陈述几乎每句话都是错的。

首先，GT, GT1, GT2, GT3, GT4 这五个命题并不等价，所以，上述实例陈述的第一句话就不对。

其次，就各个命题来说，“数学是不可穷尽的”的“穷尽”本身就没有清晰定义，这个命题本身就毫无意义；“每个一致的形式数学理论一定包含不可判定的命题”是百分之百的胡说八道，可判定的一致的形式数学理论有许许多多；“没有定理证明机器(或程序)能够只证明全部真的数学命题”这个命题从自动定理证明理论来说是对的，但是与哥德尔定理毫不相关；“没有形式数学理论可以是既一致又完全的”是百分之百的胡说八道，既一致又完全的形式数学理论有许许多多；“数学是机械上(或算法上)不可穷尽的(或不可完全的)”这个命题与命题GT一样，毫无意义。

上述实例，近乎极其荒谬的无稽之谈。

实例五 

“哥德尔提出的不完备定理证明了一个可怕的事实。任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。也就是说，“相容”和“完备”是不能同时满足的！当然对于普通人来说，哥德尔的这个定理是非常晦涩难懂的。总之其证明了一点，从古至今的数学家都认为所有数学问题是可以被完美证明的，只要不断地努力，总有一天数学将变得无懈可击。而哥德尔不完备定理告诉所有人，数学问题并不是都能被证明的，你们的数学不是完美的。”

上述实例对“哥德尔第一不完全性定理”的解释，几乎句句都在曲解哥氏定理。

首先，哥氏定理不是关于“公理体系”的而是关于“形式系统”的。其次，“包含初等算术的陈述”是一句非常含混而不严谨的界定，不知作者是否真的能够说清楚什么是“初等算术的陈述”，什么是“包含”？再次，“也就是说，“相容”和“完备”是不能同时满足的！” 关于这个“歪曲”，笔者已经说明过多次了，并非是哥氏定理结论的正确准确陈述。

除去对哥氏定理的曲解，上述实例中的其余部分，既是对数学/数学史的无知，也是对数学家们（包括哥德尔本人）的贬低甚至“污蔑”。

上述实例，近乎极其荒谬的无稽之谈。

[未完待续]

参考文献

[1] K. Gödel, “über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I,” Monatshefte für Mathematik Physik, Vol. 38, pp. 173–198, 1931. (The summary of the results of this work, published in Anzeiger der Akad. D. Wiss. In Wien (math.-naturw. Kl.) 1930, No. 19.) English Translation: B. Meltzer (Translation) and R. B. Braithwaite (Introduction), K. Gödel, “On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I,” Basic Books, 1962, Dover Publications, 1992. 

[2] K. Gödel, “Some metamathematical results on completeness and consistency, On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I, and On completeness and consistency”(1930b, 1931, and 1931a), in J. van Heijenoort (Translation, Ed.), “From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931” pp. 592-617, Harvard University Press, 1967, “Frege and Gödel: Two Fundamental Texts in Mathematical Logic,” pp. 83-108, Harvard University Press, 1970.  

[3] K. Gödel, “Einige metamathematische Resultate über Entscheidungsdefinitheit und Widerspruchsfreiheit”(1930b) “Some metamathematical results on completeness and consistency,”(1930b), pp. 140-143, “über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I,”(1931) “On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I,”(1931), pp. 144-195, “über Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit,”(1932b) “On completeness and consistency,”(1932b), pp. 234-237, Translated (by J. van Heijenoort) and Repringted in S. Feferman, et al. (Eds.), “Kurt Gödel: Collected Works, Volume I, Publications 1929-1936,” Oxford University Press, 1986.  

[4] 程京德,“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’（1）- 背景及内容”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年6月26日。

[5] 程京德,“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’（2）- 理论基础及有效范围”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年6月30日。

[6] 程京德,“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’（3）- 意义”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年7月3日。

[7] 程京德,“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’（4）- 误解误用的一般性原因”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年7月8日。

[8] 程京德,“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’（5）- 一些相关事实”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年7月15日。

[9] 程京德，“形式理论：将形式逻辑系统应用于具体对象领域的逻辑基础”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年1月30日，科学网博客，2023年2月9日；“形式理论：将形式逻辑系统应用于具体对象领域的逻辑基础（增补版）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年4月17日。

[10] 程京德，“哥德尔不完全性定理的内容和有效范围(3) 各种典型误解实例”，科学网博客，2017年5月5日。

[11] 程京德，“哥德尔不完全性定理的误读误解实例(1)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年6月8日， “哥德尔不完全性定理的误读误解实例(2)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年6月9日，“哥德尔不完全性定理的误读误解实例(3)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年6月10日， “哥德尔不完全性定理的误读误解实例(4)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年6月11日， “哥德尔不完全性定理的误读误解实例(5)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年6月12日， “哥德尔不完全性定理的误读误解实例(6)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年6月15日， “哥德尔不完全性定理的误读误解实例(7)”， 微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年7月19日， “哥德尔不完全性定理的误读误解实例(8)”， 微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2024年7月9日， “哥德尔不完全性定理的误读误解实例(9)”， 微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2024年7月11日。

[12] 程京德，“相关推论与强相关逻辑”，科技导报，Vol. 34, No. 7, pp. 39-47, 2016. 

[13] 程京德，“强相关逻辑及其应用（上）、（中）、（下）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年6月18日、2023年8月8日、2023年8月12日。

[14] 程京德，“相关逻辑(1) - 背景与前史”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年5月28日； 程京德，“相关逻辑 (2) – 创建”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年6月9日； 程京德，“相关逻辑 (3) – 特征”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年6月18日； 程京德，“相关逻辑 (4) – 形式语言”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年6月25日。 

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