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准确地理解哥德尔不完全性定理“关于PM及相关系统的形式不可判定命题”(2) - 理论基础及有效范围

程京德

本文澄清“哥德尔不完全性定理”的理论基础及有效范围，说明哥德尔的工作究竟基于怎样的理论基础，断定了什么，以及并没有断定什么。

哥德尔证明的两个重要定理的原始陈述如下 [1-4]：

命题IX(“第一不完全性定理”)：在命题VI中言及的所有形式系统中，都存在有受限谓词演算的不可判定问题（亦即，受限谓词演算的逻辑式，其普遍有效性以及其反例的存在性都不可证）。

命题XI(“第二不完全性定理”)：如果c是一个给定的递归且一致的逻辑式类，则表达“c是一致的”之内容的命题逻辑式不是c-可证的；特别地，P的一致性在P中不可证，在假设P是一致的前提下（如果不是，那么当然，任何言明都是可证的）。

下面，笔者对这两个定理的理论基础及有效范围做一些解释性说明。

[对于数理逻辑中形式系统/理论的概念不熟悉的读者，在阅读下面内容之前，最好先阅读一下笔者的科普文章 [5]。]

哥德尔的工作之理论基础

自古希腊以来，为知识提供基础的基础主义方法论(the foundationalism methodology)一直都试图把所有人类知识通过 （1）明确地为真的基本知识，以及（2）无可争议的知识扩展过程，来建立在坚实的基础之上 [6]。形式化逻辑系统及基于形式化逻辑系统的形式系统/理论就是基础主义方法论在逻辑学中的典型应用。

任何逻辑学、数学、以及众多科学理论都必然地基于一些基本假设或者第一原理而构建的，数理逻辑当然也不例外。经典数理逻辑是建立在下面四个基本假设之上的：

经典抽象(the classical abstraction)：命题对逻辑学来说唯一重要的性质是它的形式和真值。

弗雷格假设/可拓性原则(the Fregean assumption / the principle of extensionality)：任何一个命题的真值只取决于它的形式和其组成成分的真值，而不取决于它们的内容意义。

两值原理(the principle of bivalence)：真值正好有两个，真(TRUE)和假(FALSE)。每个命题都有其一个或另一个真值，但不是两者都有。

有效性的经典解释（the classical account of validity, CAV）：一个论证是有效的，当且仅当不可能它的所有前提都是真的而它的结论却是假的。

和两值原理相关的还有一条逻辑原则，排中律(the law/principle of excluded middle)， 对于任意命题P，其自身或其否定必有一真，亦即，(P or ¬P)必为真。

基于上述基本假设，由弗雷格和罗素形式化的经典数理逻辑是爆发的(explosive)形式逻辑系统，亦即，从一对矛盾的、不一致的命题可以推出任意命题作为有效结论。任何基于经典数理逻辑形式化的形式系统/理论也同样是爆发的。因此，讨论任何有意义的基于经典数理逻辑形式化的形式系统/理论时，通常都需要假设该形式系统/理论是一致的、无矛盾的。

哥德尔的工作所考查的对象系统，“PM及相关系统”，是基于经典数理逻辑的，当然也是爆发的。这就是哥德尔的两个定理中作为前提条件之一要求对象形式系统/理论是一致的、无矛盾的之根本原因。哥德尔还在命题XI的陈述里专门注释了一句“（如果不是，那么当然，任何言明都是可证的）”。

一个基于经典数理逻辑形式化的形式系统/理论被称为是“经典完全的(classically complete)”，当且仅当用该系统/理论的形式语言表达的任意一个逻辑式/公式，其本身或其否定的两者之一必然在该系统/理论中形式地可证。

从逻辑哲学的角度来说，“经典完全性”的定义是隐含地基于排中律的。定义一个形式系统/理论的完全性，是意图用完全性来判定该系统/理论的对象领域中所有应该被认可的事实或经验律是否都已经全部被包含进该系统/理论中，如果全部包含了那么该系统/理论就是完全的，否则就是不完全的。如果遵循两值原理和排中律，那么既然任意命题 P 其自身或其否定必有一真（应该被认可），则任意命题 P 其自身或其否定必有一个在一个形式系统/理论中形式地可证也就给出了完全性的判定。

命题IX既然断定了PM及相关系统中存在有形式不可判定命题，那么这些系统依据“经典完全性”的定义就都是不完全的。所以，严格地说，PM及相关系统的“经典不完全性”应该是命题IX的一个（隐含地基于两值原理和排中律的）推论。

众所周知，直观主义逻辑/数学是不承认排中律的。希尔伯特在其计划中特别限定要以有穷方法来证明算术的一致性，就是为了避免来自直观主义逻辑学家的批评 [7]。从逻辑哲学的观点来看，一方面遵从希尔伯特计划把方法论限定在有穷方法，另一方面却以隐含地承认排中律的前提下得到的“经典不完全性”推论结果为由而把哥德尔陈述的原本命题IX称之为“第一不完全性定理”，实际上并不恰当。

命题XI的内容与形式系统/理论的完全性并不直接相关，被称为“第二不完全性定理”就更不恰当。

哥德尔的工作之有效范围

严谨地说，在严格定义了的理论基础之上，命题IX仅仅断定了在一类形式系统/理论（亦即，基于经典一阶谓词演算形式化的、至少包含了初等数论的、一致的形式系统/理论）中必定存在有形式不可判定命题。除此之外，命题IX并没有明晰地断定其它任何结论。

所有由命题IX衍生出来的其它结论，都仅仅是该定理的推论，并且这些衍生结论几乎都需要额外的（尽管可能是隐含的）预设前提条件。

正确地理解命题IX的实际有效范围有如下几个关键点：

第一，该定理的断定所针对的对象是形式系统/理论，凡不是形式化的形式系统/理论的任何体系，都不在该定理的有效范围之内。

第二，该定理的断定所针对的对象是基于经典一阶谓词演算形式化的形式系统/理论，一个形式系统/理论可以是基于各种不同的形式逻辑系统形式化的，凡不是基于经典一阶谓词演算形式化的形式系统/理论，都不在该定理的有效范围之内。

第三，该定理的断定所针对的对象是至少包含了初等数论的形式系统/理论（哥德尔工作的关键是通过哥德尔配数法(Gödel numbering)将每个一阶谓词逻辑概念/符号/逻辑式/形式证明表达成为一个自然数（亦即，哥德尔数(Gödel number)）），比这样的形式系统/理论“弱”的形式系统/理论，都不在该定理的有效范围之内。

第四，该定理的断定所针对的对象是一致的、无矛盾的形式系统/理论，任何不一致的、矛盾的形式系统/理论，都不在该定理的有效范围之内。

第五，该定理断定的“必定存在有形式不可判定命题”，其含义是指在有穷方法的限定下，能够构造出其自身或者其否定都不是形式地可证（亦即，在对象形式系统/理论内不可能找到一个有穷的形式证明序列）的命题。任何以非有穷方法处理的命题，都不在该定理的有效范围之内。

命题IX当然完全没有断定关于超出其考查对象有效范围的任何体系的任何性质。所有借命题IX(“哥德尔第一不完全性定理”)之名针对超出其有效范围的任何体系所陈述的任何性质，全部都是对命题IX的误解误用，全部都是“胡说八道”！

严谨地说，在严格定义了的理论基础之上，命题XI仅仅断定了对于一类形式系统/理论（亦即，基于经典一阶谓词演算形式化的、递归的、一致的形式系统/理论），表达其一致性的命题在该系统中形式地不可证。换言之，这类形式系统/理论的一致性（这其实是一种“元”性质）不可能被表达为一个在该系统/理论内形式可证的目标定理。

命题XI当然完全没有断定关于超出其考查对象有效范围的任何体系的一致性及其可证性。 所有借命题XI(“哥德尔第二不完全性定理”)之名针对超出其有效范围的任何体系所陈述的一致性及其可证性，全部都是对命题XI的误解误用，全部都是“胡说八道”！

当然，在一个形式系统/理论内部不可能找到一个表达其一致性的目标定理的形式证明，并不意味着也必定找不到一个表达其一致性的元定理的元证明（未必是形式化的，未必遵循有穷观点和方法）。实际上，在希尔伯特放宽了有穷方法的限制之后，根岑(G. Gentzen, 1909-1945)就在1936年用超穷归纳法证明了初等数论的一致性 [7]。

参考文献

[1] K. Gödel, “über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I,” Monatshefte für Mathematik Physik, Vol. 38, pp. 173–198, 1931. (The summary of the results of this work, published in Anzeiger der Akad. D. Wiss. In Wien (math.-naturw. Kl.) 1930, No. 19.)English Translation: B. Meltzer (Translation) and R. B. Braithwaite (Introduction), K. Gödel, “On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I,” Basic Books, 1962, Dover Publications, 1992. 

[2] K. Gödel (1930b, 1931, and 1932b), “Some metamathematical results on completeness and consistency, On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I, and On completeness and consistency,” in J. Van Heijenoort (Translation, Ed.), “Frege and Gödel: Two Fundamental Texts in Mathematical Logic,” pp. 83-108, Harvard University Press, 1970.  

[3] K. Gödel, “über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I,” “On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I,” Repringted and translated (by J. Van Heijenoort) in S. Feferman, et al. (Eds.), “Kurt Gödel: Collected Works, Volume I, Publications 1929-1936,” pp. 144-195, Oxford University Press, 1986.  

[4] 程京德，“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’”（1）- 背景及内容，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年6月26日。

[5] 程京德，“形式理论：将形式逻辑系统应用于具体对象领域的逻辑基础”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年1月30日，科学网博客，2023年2月9日；“形式理论：将形式逻辑系统应用于具体对象领域的逻辑基础（增补版）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年4月17日。

[6] G. Sher, “The Foundational Problem of Logic,” The Bulletin of Symbolic Logic, Vol. 19, No. 2, pp. 145-198, 2013.  

[7] 王宪钧, “数理逻辑引论 第三篇 数理逻辑发展简述”，北京大学出版社, 1982年,1998年。

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