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准确地理解哥德尔不完全性定理“关于PM及相关系统的形式不可判定命题”(4) - 误解误用的一般性原因

程京德

本文分析和说明“哥德尔不完全性定理”被误解误用的一般性原因。

哥德尔证明的两个重要定理的原始陈述如下 [1-6]：

命题IX(“第一不完全性定理”)：在命题VI中言及的所有形式系统中，都存在有受限谓词演算的不可判定问题（亦即，受限谓词演算的逻辑式，其普遍有效性以及其反例的存在性都不可证）。

命题XI(“第二不完全性定理”)：如果c是一个给定的递归且一致的逻辑式类，则表达“c是一致的”之内容的命题逻辑式不是c-可证的；特别地，P的一致性在P中不可证，在假设P是一致的前提下（如果不是，那么当然，任何言明都是可证的）。

下面，笔者对这两个定理被误解误用的一般性原因做一些分析和说明。

[对于数理逻辑中形式系统/理论的概念不熟悉的读者，在阅读下面内容之前，最好先阅读一下笔者的科普文章 [7]。]

哥德尔本人对其工作的简介 

哥德尔的工作在1931年作为正式论文发表之前，曾于1930年以概要方式发表[2,3]，哥德尔本人也在其论文正式发表过之后的1932年对其工作做过简介[2,3]如下：

“设 Z 是我们对Peano公理添加了用递归（在一个变量上）定义的模式和限制函数演算的逻辑规则而获得的形式系统。因此，除了个体变量(即自然数)之外，Z 不包含任何其他变量，因此，数学归纳法原理必须被公式化为推理规则。那么以下成立: (Let Z be the formal system that we obtain by supplementing the Peano axioms with the schema of definition by recursion (on one variable) and the logical rules of the restricted functional calculus. Hence Z is to contain no variables other than variables for individuals (that is, natural numbers), and the principle of mathematical induction must therefore be formulated as a rule of inference. Then the following hold: )”

“1. 给定任何形式系统 S，其中有有限多个公理，并且推理的唯一原则是替换规则和蕴涵规则，如果 S 包含 Z，则 S 是不完全的，亦即，在 S 中有基于 S 的公理不可判定的命题(特别是 Z 的命题)，前提是 S 是 w-一致的。(1. Given any formal system S in which there are finitely many axioms and in which the sole principles of inference are the rule of substitution and the rule of implication, if S contains Z, S is incomplete, that is, there are in S propositions (in particular, propositions of Z) that are undecidable on the basis of the axioms of S, provided that S is w-consistent.)”

“这里说一个系统是 w-一致的，如果没有自然数的某个性质 F，使得(Ex)(notF(x))以及所有的公式 F(i)，i = 1，2，... 都是可证的。(Here a system is said to be w-consistent if, for no property F of natural numbers, (Ex)(notF(x)) as well as all the formulas F(i), i = 1, 2, ... are provable.)”  

“2. 特别地，在刚刚提到的这类系统 S 中，命题‘S是一致的’(更准确地说，我们通过将公式一一对应地映射到自然数上而获得的等价算术命题)是不可证的。(2. In particular, in every system S of the kind just mentioned the proposition that S is consistent (more precisely, the equivalent arithmetic proposition that we obtain by mapping the formulas one-to-one on natural numbers) is unprovable.)” 

如果说到对哥德尔的工作最权威的解释简介，当然是哥德尔本人在原创论文发表之前发表的概要及原创论文发表之后的简介了[2,3]。其次，美国著名数理逻辑学家克林尼(S. C. Kleene, 1909-1994)为哥德尔文集撰写的解说应该是很专业很严谨的 [8]。如同哥德尔文集主编在前言中所说：“每一篇文章或密切相关的一组文章之前都有一个介绍性的说明，阐明它并将其置于历史背景中。这些说明是由编委会成员以及一些外部专家撰写的。(each article or closely related group of articles is preceded by an introductory note which elucidates it and places it in historical context. These notes have been written by the members of the editorial board as well as a number of outside experts.)” 

哥德尔的工作被误解误用的一般性原因之一：翻译及解说的陈述缺乏严谨 

哥德尔的原始论文是德文的，其最初的英译（译者为 B. Meltzer）出版于1962年 [1]， R. B. Braithwaite 为其写了一个导引 [9]。但是，Meltzer 的译本被批评为有严重缺陷，哥德尔本人对 Braithwaite 的导引也不满意（哥德尔喜欢的译文是 Jean van Heijenoort 的[2,3]）[10]。

Braithwaite 的导引之首句，“每一个算术系统都包含算术命题，这意味着只涉及整数之间关系的命题，这些命题在系统内既不能证明也不能否证。 年轻的奥地利数学家库尔特·哥德尔于1930年向维也纳科学院宣布了这一划时代的发现，并在《数学与物理》第38卷第173-198页（莱比锡：1931年）的一篇论文中发表了详细的证明。(Every system of arithmetic contains arithmetical propositions, by which is meant propositions concerned solely with relations between whole numbers, which can neither be proved nor be disproved within the system. This epoch-making discovery by Kurt Gödel a young Austrian mathematician, was announced by him to the Vienna Academy of Sciences in 1930 and was published, with a detailed proof, in a paper in the Monatshefte für Mathematik und Physik Volume 38 pp. 173-198 (Leipzig: 1931).)”[9]，对哥德尔工作的介绍就是极不严谨的，甚至可以说是错误的。

无论专业学者还是非专业人士，如果仅仅是基于有缺陷的翻译和不严谨的解说来理解哥德尔的工作的话，那么，对哥德尔的工作产生误解就毫不奇怪了。

笔者猜测，除了数学基础论专业领域的数理逻辑学家，其它专业领域的数理逻辑学家以及所有非数理逻辑专业的各类学者人士，都不会直接研读哥德尔的原创论文去理解其工作，而是首先从哥德尔原创论文的解说或评论文章去理解哥德尔的工作。所以，对哥德尔的工作之解说和评论的陈述缺乏严谨，应该是大众对其误解误用的首要一般性原因。

哥德尔的工作被误解误用的一般性原因之二：定理前提条件被忽视 

笔者在本系列前面的文章中就说过：“任何逻辑学、数学、以及众多科学理论都必然地基于一些基本假设或者第一原理而构建的，数理逻辑当然也不例外。”[5]。哥德尔的工作是基于当时的经典数理逻辑基础的，其两个定理也都设定有严格的前提条件。如果忽视了定理的前提条件中的任何一个，那么一定会导致对定理的结论及其有效范围的误解。

王浩先生的“数理逻辑通俗讲话(Popular Lectures on Mathematical Logic)”[11] 大概是对哥德尔的工作给予介绍和解说的最早的中文文献了，因此在国内的影响也比较广泛（笔者本人就不知多少次被朋友、同事、学生们问及此书中的相关内容）。

王浩先生在“数理逻辑通俗讲话”中对“哥德尔第一不完全性定理”介绍道：“对任一数学的形式（形式化公理）系统 S 来说，在系统中构造不可判定的数论问题的方法是给定的。(A method is given of constructing, for any formal (formalized axiom) system S of mathematics, a question of number theory undecidable in the system.)”[11] 王浩先生在此通俗介绍的下文中对“哥德尔第一不完全性定理”本质上所依赖前提条件中的三个 [请注意：笔者的这个表述“本质上所依赖前提条件中的三个”，与本文下面所引用的王浩先生自己的表述“本质上它只依赖于以下三个条件”并不完全相同] 做了说明： “这是一个一般的结果，本质上它只依赖于以下三个条件：(a) 公理系统 S 真正是形式的；(b) 系统 S 足够丰富，以展开一个适量的数论；(c) S 是协调的。” 实际上，可能因为王浩先生本人是经典数理逻辑学家，又是在中国科学院做关于数理逻辑的通俗讲演，在上面三个前提条件的表述中，忽略了清晰明白地表述出所谓“形式的”和“协调的”（亦即，一致的）都应该是在基于经典一阶谓词演算的形式化这个意义下所说的这一重要前提。

王浩先生在“数理逻辑通俗讲话”中将“哥德尔第二不完全性定理”通俗地表述为：“没有一个古典数学形式系统能够证明它自己的协调性。或者，满足上面提到的 (a), (b), (c) 的一个系统 S 的协调性借助在 S 中的一个语句 Con(S) 而有自然的表示，但 Con(S) 不能是 S 的一个定理。(No classical formal system of mathematics can prove its own consistency. Or, the consistency of a system S satisfying (a),(b),(c) mentioned above has a natural representation by a sentence Con(S) in S but Con(S) cannot be a theorem of S.)”[11] 这里，王浩先生仍然没有清晰明白地表述出所谓“古典数学形式系统”和“协调性”都应该是在基于经典一阶谓词演算的形式化这个意义下所说的这一重要前提。

应该说，如果从严谨性来要求，那么王浩先生对“哥德尔第一、第二不完全性定理”本质上所依赖前提条件的陈述是不够完全的。由于经典一阶谓词演算作为形式化的基础逻辑的重要作用，把它作为“哥德尔第一、第二不完全性定理”本质上所依赖前提条件之一清晰明白地陈述清楚才是严谨的，才能够清晰明白地界定“哥德尔第一、第二不完全性定理”的有效范围。

瑞典数理逻辑学家及计算机科学家 Torkel Franzén (1950-2006) 在2005年出版了一本讨论“哥德尔不完全性定理”的使用和滥用的专著“哥德尔定理：关于其使用和滥用的不完整指南(Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse)”[12]，指出许多对“哥德尔不完全性定理”的引用都是滥用。但是，即便是 Franzén 本人，虽然在其专著中相当严谨地介绍了“哥德尔不完全性定理”，在其发表于美国数学会通讯(Notices Of The American Mathematical Society)纪念哥德尔的专辑中文章 [13] 里，却仍然把“哥德尔第一不完全性定理”陈述为：“每个足够强的公理化理论或是不完全的，或是不一致的。(Every sufficiently strong axiomatic theory is either incomplete or inconsistent.)”显然，Franzén 的这个陈述忽视了形式化的基础逻辑，“足够强”的严谨说明，还把“一致性”这个前提条件从定理的前提搬到了定理的结论之中（关于这一“歪曲”，下面还要言及）。 

阅读到这里，可能会有读者问，哥德尔本人在概要和简介中不是也没有清晰明白地陈述形式化的基础逻辑吗？

哥德尔工作的20世纪30年代初期，经典数理逻辑才被弗雷格和罗素完全形式化，其实质蕴涵悖论问题也才被指摘，刘易斯的模态逻辑也才被提出，故而，在当时，所谓“形式化”就是基于经典数理逻辑的。哥德尔在原创论文中清晰明确地定义和说明了对象系统，所以，在概要和简介中没有清晰明白地陈述形式化的基础逻辑也是可以理解的。

现今，我们强调经典一阶谓词演算作为形式化的基础逻辑这一前提条件的重要性，还在于，如果我们选用非爆发的、準协调的形式逻辑系统，比如说準协调逻辑(paraconsistent logic)或者相关逻辑(relevant logic)来作为形式化的基础逻辑，那么所得到的形式系统/理论也将是非爆发的、準协调的，就无需要求一致性这个前提条件了。

哥德尔的工作被误解误用的一般性原因之三：定理结论被“歪曲” 

如果最简洁地陈述，以“对象系统”来表达符合定理前提条件的形式系统，那么哥德尔两个定理的结论就是简单的两句话：“在对象系统中能够构造出形式不可判定命题”和“在对象系统中可以表达的系统自身一致性命题在该系统中形式不可证”。对哥氏定理结论的陈述，如果脱离了上述两句话内容，都是对原结论的“歪曲”。对定理结论的“歪曲”陈述，当然会导致对定理结论及其有效范围的误解。

上面言及的，Franzén 把“哥德尔第一不完全性定理”陈述为：“每个足够强的公理化理论或是不完全的，或是不一致的”[13]，把“一致性”这个前提条件从定理的前提搬到了定理的结论之中。这是对“哥德尔第一不完全性定理”的一种典型的“歪曲”，把原来的定理内容“在对象系统中能够构造出形式不可判定命题”歪曲成了“不完全性和不一致性之两者择一而不可两立”。这一“歪曲”直接造成许多误解（实例详见本系列文章的后续文章）。

王宪钧先生（1937年春赴维也纳大学留学学习数理逻辑，是哥德尔的“集合论公理体系”课程唯一正式注册的学生）在“数理逻辑引论”[14]中将“哥德尔第一不完全性定理”表述为：“一个包括初等数论的形式系统 P，如果是一致的那么就是不完全的。这被称为第一不完全性定理。” 将哥德尔第二不完全性定理表述为：“如果这样的形式系统是一致的，那么其一致性在本系统中不可证。这被称为第二不完全性定理。”

显然，王宪钧先生陈述的“哥德尔第一不完全性定理”并非哥德尔原本的命题IX之内容，而是其衍生推论。王宪钧先生这样的把定理结论陈述为条件句，把定理前提条件之一的一致性单独挑出来作为条件句前件的这种“歪曲”陈述方式，极其容易被误解（实例详见本系列文章的后续文章）。如同我们在前面文章中已经说明过的，对于对象系统的“一致性”要求源于形式化的基础逻辑经典数理逻辑的爆发性，将其陈述为条件句式结论的前件，虽然不能说完全是个错误，但是的确“歪曲”了原本结论内容。

另外，与王浩先生同样，王宪钧先生也忽略了清晰明白地表述出经典一阶谓词演算作为形式化的基础逻辑这一本质上重要的前提条件。也可能正式这种忽略才让王宪钧先生把“一致性”要求作为陈述定理结论之一部分。

黄耀枢先生在“数学基础引论”[15]中将“哥德尔第一不完全性定理”表述为：“对于任一形式理论系统F丰富到足以包括形式初等数论的所有公式，如果它是一致的，那么它是不完全的。” 将“哥德尔第二不完全性定理”表述为：“断定通过‘理论内部可形式化’的方法来证明F的一致性的不可能性。”

显然，与王宪钧先生同样，黄耀枢先生陈述的“哥德尔第一、第二不完全性定理”也并非哥德尔原本的命题IX和命题XI的内容，并且也采用了把前提条件之一的一致性单独挑出来作为结论的条件句之前件的这种陈述方式，所以，也“歪曲”了原本结论内容。

因为在“数学基础引论”书中已经定义了：“F作为一个一阶形式公理理论它包含两类公理：一类是带等号的一阶谓词演算公理，另一类是数学公理，它选取了F的闭公式的某一集合，这些公理总是由这理论的数学内容提供的。例如，F作为描写初等数论的一阶理论，它就包括皮亚诺公理。F的推理规则，可证性和课推演性定义与一阶谓词演算相同。”，所以，黄耀枢先生对“哥德尔不完全性定理”前提条件的陈述可以被认为是完全的。

哥德尔的工作被误解误用的一般性原因之四：数理逻辑概念不清 

哥德尔的工作在数理逻辑领域也是非常专业的，所有使用到的概念或是在经典数理逻辑里面有清晰明白的定义，或是哥德尔本人在论文中将其定义的清晰明白。

但是，由于一些概念名词，比如，“自然数”、“算数”、“数论”、“命题”、“系统/理论”、“形式化”、“证明”等等，在许多领域或者人类日常社会生活中也会用到，如果人们不先去认真学习讲究数理逻辑的基本概念或哥德尔的原创论文，仅凭在日常生活和工作中对这些词汇的认识理解就去理解哥德尔的工作，那么误解就是必然的，而且有时候会误解的离谱。

笔者观察了众多实例之后认为，绝大多数非数理逻辑专业的人士对哥德尔工作的误解，或多或少都存在概念不清的问题。所以，对数理逻辑专业概念的认知不清，是对哥德尔工作的误解误用中最普遍的原因。 

参考文献

[1] K. Gödel, “über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I,” Monatshefte für Mathematik Physik, Vol. 38, pp. 173–198, 1931. (The summary of the results of this work, published in Anzeiger der Akad. D. Wiss. In Wien (math.-naturw. Kl.) 1930, No. 19.) English Translation: B. Meltzer (Translation) and R. B. Braithwaite (Introduction), K. Gödel, “On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I,” Basic Books, 1962, Dover Publications, 1992. 

[2] K. Gödel, “Some metamathematical results on completeness and consistency, On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I, and On completeness and consistency”(1930b, 1931, and 1931a), in J. van Heijenoort (Translation, Ed.), “From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931” pp. 592-617, Harvard University Press, 1967, “Frege and Gödel: Two Fundamental Texts in Mathematical Logic,” pp. 83-108, Harvard University Press, 1970.  

[3] K. Gödel, “Einige metamathematische Resultate über Entscheidungsdefinitheit und Widerspruchsfreiheit”(1930b) “Some metamathematical results on completeness and consistency,”(1930b), pp. 140-143, “über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I,”(1931) “On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I,”(1931), pp. 144-195, “über Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit,”(1932b) “On completeness and consistency,”(1932b), pp. 234-237, Translated (by J. van Heijenoort) and Repringted in S. Feferman, et al. (Eds.), “Kurt Gödel: Collected Works, Volume I, Publications 1929-1936,” Oxford University Press, 1986.  

[4] 程京德,“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’（1）- 背景及内容”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年6月26日。

[5] 程京德,“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’（2）- 理论基础及有效范围”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年6月30日。

[6] 程京德,“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’（3）- 意义”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年7月3日。

[7] 程京德，“形式理论：将形式逻辑系统应用于具体对象领域的逻辑基础”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年1月30日，科学网博客，2023年2月9日；“形式理论：将形式逻辑系统应用于具体对象领域的逻辑基础（增补版）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年4月17日。

[8] S. C. Kleene, “Introductory note to 1930b, 1931 and 1932b,” in S. Feferman, et al. (Eds.), “Kurt Gödel: Collected Works, Volume I, Publications 1929-1936,” pp. 126-141，Oxford University Press, 1986. 

[9] R. B. Braithwaite, “Introduction,”in [1] K. Gödel, “On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I,” pp. 1-32, Basic Books, 1962, Dover Publications, 1992. 

[10] J. Dawson, “Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel,” A. K. Peters, 1997, 2005. 中译(唐璐译):“哥德尔：逻辑的困境”，2009.

[11] H. Wang/王浩, “Popular Lectures on Mathematical Logic,” Science Press and Von Nostrand Reinhold, 1981; “数理逻辑通俗讲话”，科学出版社, 1981; “Popular Lectures on Mathematical Logic (added a postscript),” Dover Publications, 1993. 

[12] T. Franzén, “Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse,”Wellesley, 2005. 

[13] T. Franzén, “The Popular Impact of Gödel's Incompleteness Theorem,”Notices Of The American Mathematical Society, Vol. 53, No. 4, pp. 440-443, 2006.

[14] 王宪钧, “数理逻辑引论 第三篇 数理逻辑发展简述”，北京大学出版社, 1982年,1998年。

[15] 黄耀枢，“数学基础引论”，北京大学出版社，1987年。 

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