# 准确地理解哥德尔不完全性定理“关于PM及相关系统的形式不可判定命题”(5) - 一些相关事实 精选

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[对于数理逻辑中形式系统/理论的概念不熟悉的读者，在阅读下面内容之前，最好先阅读一下笔者的科普文章 [8]。]

1953年，塔斯基及其合作者证明了一些形式数学理论（比如， 群论、格论、射影⼏何等）的不可判定性 [22,29]。

[1] K. Gödel, “über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I,” Monatshefte für Mathematik Physik, Vol. 38, pp. 173–198, 1931. (The summary of the results of this work, published in Anzeiger der Akad. D. Wiss. In Wien (math.-naturw. Kl.) 1930, No. 19.) English Translation: B. Meltzer (Translation) and R. B. Braithwaite (Introduction), K. Gödel, “On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I,” Basic Books, 1962, Dover Publications, 1992.

[2] K. Gödel, “Some metamathematical results on completeness and consistency, On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I, and On completeness and consistency”(1930b, 1931, and 1931a), in J. van Heijenoort (Translation, Ed.), “From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931” pp. 592-617, Harvard University Press, 1967, “Frege and Gödel: Two Fundamental Texts in Mathematical Logic,” pp. 83-108, Harvard University Press, 1970.

[3] K. Gödel, “Einige metamathematische Resultate über Entscheidungsdefinitheit und Widerspruchsfreiheit”(1930b) “Some metamathematical results on completeness and consistency,”(1930b), pp. 140-143, “über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I,”(1931) “On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I,”(1931), pp. 144-195, “über Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit,”(1932b) “On completeness and consistency,”(1932b), pp. 234-237, Translated (by J. van Heijenoort) and Repringted in S. Feferman, et al. (Eds.), “Kurt Gödel: Collected Works, Volume I, Publications 1929-1936,” Oxford University Press, 1986.

[4] 程京德,“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’（1）- 背景及内容”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年6月26日。

[5] 程京德,“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’（2）- 理论基础及有效范围”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年6月30日。

[6] 程京德,“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’（3）- 意义”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年7月3日。

[7] 程京德,“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’（4）- 误解误用的一般性原因”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年7月8日。

[8] 程京德，“形式理论：将形式逻辑系统应用于具体对象领域的逻辑基础”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年1月30日，科学网博客，2023年2月9日；“形式理论：将形式逻辑系统应用于具体对象领域的逻辑基础（增补版）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年4月17日。

[9] R. Zach, “Hilbert’s Program,” The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Stanford University, 2003-2023.

[10] R. Murawski, “On Proofs of The Consistency of Arithmetic,” Studies in Logic, Grammar and Rhetoric 5 (18), pp. 41-50, 2002.

[11] G. Gentzen, “Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie,” Mathematische Zeitschrift, Vol. 112，pp. 493-565, 1936. English Translation： G. Gentzen, “The Consistency of Arithmetic,”in M. E. Szabo (ed.), “Collected Papers of Gerhard Gentzen, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics,” pp. 132-213, North-Holland, 1969.

[12] 王宪钧, “数理逻辑引论 第三篇 数理逻辑发展简述”，北京大学出版社, 1982年,1998年。

[13] W. Ackermann, “Begrϋndung des ‘tertium non datur’ mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit,” Mathematische Annalen, 93, pp. 1-36, 1924.

[14] W. Ackermann, “Zur Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie,” Mathematische Annalen, 117, pp. 162-194, 1940.

[15] H. Hermes “In memoriam WILHELM ACKERMANN 1896-1962,” Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol. 8, No. 1-2, pp. 1-8, 1967.

[16] K. Schütte, “Beweistheoretische Erfassung der unendlichen Induktion in der Zahlentheorie,” Mathematische Annalen, Vol. 122, pp. 369-389, 1951.

[17] K. Schütte, “Beweistheorie,” Springer-Verlag, 1960. English translation: “Proof Theory,” Springer-Verlag, 1977.

[18] I. N. Khlodovskii (И. H. Хлодовскпй), “A New Proof of the Consistency of Arithmetic (НОВОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ АРИФМЕТИКИ),” Uspekhi Mat. Nauk, Vol. 14, Issue 6, pp. 105-140, 1959.

[19] R. K. Mayer, “Relevant Arithmetic (Abstract),” Bulletin of the Section of Logic, Vol. 5/4, pp. 133-137, 1976; Australasian Journal of Logic, Vol.18, No. 5, pp. 150-153, 2021.

[20] H. Friedman and R. K. Mayer, “Whither Relevant Arithmetic?” The Journal of Symbolic Logic, Vol. 57, No. 3, pp. 824-831, 1992.

[21] R. K. Mayer, “The Consistency of Arithmetic,” Australasian Journal of Logic, Vol. 18, No. 5, pp. 289-379, 2021.

[22] P. Raatikainen, “Gödel’s Incompleteness Theorems,” The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Stanford University, 2013-2020.

[23] M. Presburger, “über die Vollständigkeit eines gewissen Systems der Arithmetik ganzer Zahlen, in welchem die Addition als einzige Operation hervortritt,” Sprawozdanie z I Kongresu Matematyków Sn Krajów Slowiańskich, (= Comptes-rendus du I Congrès Mathématiciens des Pays Slaves), Warsaw, pp. 92–101, 1929;  English translation: “On the completeness of a certain system of arithmetic of whole numbers in which addition occurs as the only operation,” History and Philosophy of Logic, Vol. 12, No. 2, pp. 225-232, 1991.

[24] T. Skolem, “über einige Satzfunktionen in der Arithmetik,” Skrifter utgitt av Det Norske Videnskaps-Akademi i Oslo, I, No. 7, pp. 1-28, 1930.

[25] A. Tarski, “Sur les ensembles définissables de nombres réels I,” Fundamenta Mathematica 17, pp. 210-239, 1931.

[26] A. Tarski, “A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry,” Santa Monica CA, 1948.

[27] K. Gödel, “Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls,” Monatshefte für Mathematik und Physik, Vol. 37, pp. 349-360, 1930.

[28] A. Church, “An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory,” American Journal of Mathematics, Vol. 58, Issue 2, pp. 345-363, 1936.

[29] A. Tarski, A. Mostowski, and R. M. Robinson (Eds.), “Undecidable Theories,” Elsevier, 1953.

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GMT+8, 2024-8-8 18:55