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准确地理解哥德尔不完全性定理“关于PM及相关系统的形式不可判定命题”(3) - 意义

程京德

本文澄清“哥德尔不完全性定理”的意义。

哥德尔证明的两个重要定理的原始陈述如下 [1-5]：

命题IX(“第一不完全性定理”)：在命题VI中言及的所有形式系统中，都存在有受限谓词演算的不可判定问题（亦即，受限谓词演算的逻辑式，其普遍有效性以及其反例的存在性都不可证）。

命题XI(“第二不完全性定理”)：如果c是一个给定的递归且一致的逻辑式类，则表达“c是一致的”之内容的命题逻辑式不是c-可证的；特别地，P的一致性在P中不可证，在假设P是一致的前提下（如果不是，那么当然，任何言明都是可证的）。

下面，笔者对这两个定理的意义做一些解释性说明，试图努力做到恰如其分。

[对于数理逻辑中形式系统/理论的概念不熟悉的读者，在阅读下面内容之前，最好先阅读一下笔者的科普文章 [6]。]

哥德尔的工作之直接意义

    首先，从哥德尔的工作的原始动机和目的 [4] 来说，其直接意义在于：

    （1）在希尔伯特设定的有穷方法论限制之下，“PM及相关系统”（亦即，“在命题VI中言及的所有形式系统”）中存在有形式不可判定命题并且构造出这样的形式不可判定命题的具体方法是给定的；正因为“构造出这样的形式不可判定命题的具体方法是给定的”，所以上述结论也可以直接扩展应用到它们所有的经典保存扩张系统，只要对象系统满足定理所要求的前提条件。

    （2）对于满足定理所要求的前提条件的对象形式系统，一个自指地表达该系统自身之一致性这个元性质的命题（元定理），在该系统内形式不可证，亦即，不可能是该系统的目标定理。所以，哥德尔原本试图要证明的、希尔伯特猜想的形式算数系统的一致性，在希尔伯特设定的有穷方法论限制之下，是不可能被证明的。

哥德尔的工作之间接意义

    其次，从哥德尔的工作所产生的影响来说，其间接意义在于：

    （1）在哥德尔工作和发表其结果的1930年代初期，“计算/可计算/可判定”的概念还没有被清晰地认识和定义。哥德尔在世界上首次定义和发现了“形式不可判定命题”，他在证明定理时使用的递归函数方法，后经过他本人及克林尼(S. C. Kleene, 1909-1994)等逻辑学家的改进，最终发展成为“递归函数论”，现代可计算性理论的一个重要分支。所以，哥德尔是现代可计算性理论的先驱者之一。

    （2）从本质上来说，哥德尔的工作及其结论实际上揭示的是对于一个允许“实无穷”的形式数学系统/理论，有穷方法/形式化方法在能力上的局限性。希尔伯特希望把允许“实无穷”的数学基于在有穷方法论限制之下的经典数理逻辑系统之上完全形式化的计划是不可能完成的。哥德尔的工作促成了希尔伯特修改了其计划中对有穷方法的限定。

    上面就是笔者对哥德尔的工作之意义的恰如其分的[自认，微笑]说明，笔者将在后续文章中说明，为什么世间那些超出上述笔者说明的“重大意义”啦、“伟大意义”啦等等，都是基于对哥德尔工作的误解误用而产生的逻辑谬误或者言过其实，并无真正的学术价值不说，还误人子弟、害人非浅。

    “形式逻辑领域之外对不完全性定理的很多引用显然是无稽之谈，似乎是基于严重误解或某种自由联想过程。... 哥德尔定理是滥用知识的无穷无尽的源泉。... 人们经常大肆宣扬不完全性定理的影响和重要性：例如，它“给数学思想带来了一场革命”，它“不仅颠覆了数学，而且颠覆了整个科学界”，并且，在一种模糊的热情高涨之中，哥德尔的工作“不仅彻底改变了数学，而且彻底改变了哲学、语言学、计算机科学、甚至宇宙学。这些说法被过分夸大了。即使在数学领域，人们可能认为不完全性定理产生了最大的影响，但它也并没有带来任何革命。”[7] 

    “哥德尔定理在狭隘的逻辑数学世界之外获得了无与伦比的关注。其中很多都是没有根据的。除了隐喻之外，超出了形式系统的逻辑它实际上没有任何应用。甚至在数学中也是如此。或者可能特别是在数学中，数学可以继续发展，就像从未发生过什么一样。”[8] 

    “尚未有令人信服的证据被提出，表明 G1[哥德尔第一完全性定理]会影响，或者其未来的改善将会影响主流数学。”[9]

    最后，借此机会再次介绍一下我国老一辈数理逻辑学家莫绍揆先生对哥德尔的工作之评价：“哥德尔尽管成就巨大，但他的思想和见解都是通常的思想和见解，在思想上他并没有独创出什么有特殊内容的“哥德尔思想”。…… 哥德尔没有推翻任何传统规律，他所推翻的只是一些人的猜测或建议，例如希尔伯特纲领等等。”[10]。在全世界长年对哥德尔及其工作近乎狂热的赞誉中，莫绍揆先生清晰冷静客观的评价实为难得可贵！在全世界到处都有人把原本毫不相关的逻辑学、数学、哲学、各种科学、人工智能、甚至工程技术的一些话题非要拉扯上“哥德尔不完全性定理”来做“虎皮”的今天，我们更应该学习莫绍揆先生的真正的学者风范！

参考文献

[1] K. Gödel, “über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I,” Monatshefte für Mathematik Physik, Vol. 38, pp. 173–198, 1931. (The summary of the results of this work, published in Anzeiger der Akad. D. Wiss. In Wien (math.-naturw. Kl.) 1930, No. 19.)English Translation: B. Meltzer (Translation) and R. B. Braithwaite (Introduction), K. Gödel, “On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I,” Basic Books, 1962, Dover Publications, 1992. 

[2] K. Gödel (1930b, 1931, and 1932b), “Some metamathematical results on completeness and consistency, On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I, and On completeness and consistency,” in J. Van Heijenoort (Translation, Ed.), “Frege and Gödel: Two Fundamental Texts in Mathematical Logic,” pp. 83-108, Harvard University Press, 1970.  

[3] K. Gödel, “über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I,” “On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I,” Repringted and translated (by J. Van Heijenoort) in S. Feferman, et al. (Eds.), “Kurt Gödel: Collected Works, Volume I, Publications 1929-1936,” pp. 144-195, Oxford University Press, 1986.  

[4] 程京德，“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’（1）- 背景及内容”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年6月26日。

[5] 程京德, “准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’（2）- 理论基础及有效范围”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年6月30日。

[6] 程京德，“形式理论：将形式逻辑系统应用于具体对象领域的逻辑基础”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年1月30日，科学网博客，2023年2月9日；“形式理论：将形式逻辑系统应用于具体对象领域的逻辑基础（增补版）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年4月17日。

[7] T. Franzén, “Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse,” CRC Press, 2005. 

[8] U. Persson, “Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse,” Book review, 2010.

[9] B. Buldt, “The Scope of Gödel's First Incompleteness Theorem,” Logica Universalis, 8, pp. 499-552, 2014. 

[10] 程京德，“莫绍揆先生对相关逻辑的贡献以及对哥德尔之工作的评价”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年8月14日。

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