网络答疑：初三学生的数学之路

这位同学利用短消息咨询，下面蓝色字符为我的回复，不当之处还请诸位老师帮忙改进。

sxhmz100 昨天 17:07王老师您好，我是一个初三学生，从小也是很喜欢数学，可能环境原因，身边人原因，导致数学走的是“歪路”（在我理解是这样吧），就基本和国内的数学教育差不多。也学了数学竞赛，可是学习方式也是走了“歪路”，和您博文中提到的那些老师讲例题，学生模仿有相同点。为此，看了很多有关数学竞赛的有关文章，包括您的一些博文，其中还有孙维刚老师的书，现在稍有思绪。可是不知道这个是否正确，所以想请教下您。

sxhmz100 昨天 17:10我现在所理解的数学竞赛，它的主要作用是培养学生的思维能力。所以学数学竞赛不应该是像一些培训机构（比如学而思）的竞赛班那样，老师帮忙给总结题型，总结套路。

sxhmz100 昨天 17:13我现在打算这样做，主要是自己看书研究，做题应该自己独立思考，不需要总结题型套路，在思考题目的过程中提升自己的思维能力。（语文本身不太好，可能表述得有点太笼统了）

学数学独立思考是对的，但做完题目之后，总结一下题型也不为错，中学数学既然有这个方法，说明它还是有效果的。

sxhmz100 昨天 17:16我认为，学数学竞赛不用去着眼去拿奖，升学，重在学的过程中，而不是如何拿奖。一些学生依靠大量刷题即使拿到了较高的数学竞赛奖项，这种做法根本不会培养思维能力。

您可百度看看恽之玮对自己学习经历的回顾，条条大路通罗马，关键还是在于自己有多强，作为年轻人，尽量少评价，多做事。路是人走出来的，不是认为出来的。

sxhmz100 昨天 17:19不知道我上述所说的是否正确，或者存在误区，请王老师帮忙评价指出

数学就是做题，有多大本事就做多大的事，奥数如果能拿奖当然很好，但如果认识到自己的能力拿不到奖，那就得走另外一条学数学的路，也就是高考这条路。其实，关键还是在于做事，知道撞了南墙再改就是，年轻人最怕的就是胆小或者懒惰，还有一个是虚荣心。

sxhmz100 昨天 17:20还有个问题就是关于孙维刚老师的书里面的所提到的一些数学学习的理解，看了您的博文，您应该也看过了孙维刚老师的书，我有一些问题想不明白

sxhmz100 昨天 17:23问题1：孙维刚老师书里面讲到有理数的概念，一些数学老师给学生解释这是数学上的规定是错误的教法，应该追根溯源，然后孙老师解释了有理数为什么是整数与分数的统称的由来，也说了这些知识不是重要的，重要是培养了科学的思维习惯，可是如果让我一个学生这样去对每个知识追溯根源，所花时间可能比了解些数学史的时间还多，导致数学学习的进度会非常非常慢，不知道王老师对这一点怎么看，这是数学学习的必需吗？尽管我知道总是有为什么，可是不可能花时间每个都去追溯根源吧？

你说的对，如果你所在的中学没有老师能指导你的话，确实不可能花太多的时间去追溯所有的根源。关键还是看你的内心，你自己的内心想不想追根溯源，并不是所有人都喜欢这样做的，但如果一个人特别追求知识体系的完美和精神上的洁癖，就比较适合走上数学之路。

即使这样，肯定也不可能每个问题都追根溯源的，主要还是看能力。这条路，跟奥数也不是一条道，奥数训练也并不太讲究追根溯源。

这条路，应该多去看书，阅读是任何一门学科的入门之径，语文如此，数学亦如此。你如果对数学很感兴趣，但又不想走奥数这条路，课余有时间，不妨多找些数学科普与科学科普书来读，科学家传记也可以。有一套小学生读本《汉声数学图画书》，其实就比较符合追根溯源的品味，你虽然是初中生了，但也可看看。另外，华罗庚那些老一辈数学家当年写过一套数学小丛书，现在还有卖的，也可以买来看看。

不过需要提醒的是，这些都是课余活动，这些活动要达到的标准仅仅是阅读理解程度就可以了（对于绝大多数中上智力者），而课堂上的数学，则需要达到更高的标准，即解题程度。

如果是特别优异的学生，其实路径也差不多，只是可能比较早地考上大学。我不建议中学生学大学数学系课程，如果真的聪明，那就赶快高考呗。

这还是一种务实的态度，不要图虚名，要务实。不要在乎在同学眼中怎么看，不要拿虚的东西在同学眼面前炫耀，这是我所教的大学生中的一个教训。

sxhmz100 昨天 17:26问题2：孙维刚老师书里面举了个八联系，浑然一体，站在系统的高度教授知识的例子，就是那个定理：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等或互补，孙维刚老师把这个定理与平行线的三条性质，角的定义，平角的定义，对顶角相等定理以及有理数乘法法联系在了一起，这么做应该是很好，可是我感到很无奈，单独学生一个人即使能对中学6年数学的某些知识做到这样，也需要付出大量大量时间，没有老师能指导我，或者教我如何做。

sxhmz100 昨天 17:27问题二中是八方联系，打少了个字

sxhmz100 昨天 17:29问题3：孙维刚老师的书里还讲了每个定理研究它的多种证法，有一个定理研究了24种证法，还有解题也研究多种证法，再归纳规律，可是一个学生没有时间做这么大的工作量，尽管这样是很好，所以现在我很苦恼，觉得孙老师这样的数学教育可能确实很棒，我也很想接受这样的教育，可是我孤身一人，学校的老师水平也是不行。不知道王老师对此有什么建议？

我看过一个豆瓣帖子，八中少儿班的教学中现在还有这么做的。一题多解，我自己认为没有什么必要，不需要培养这种意识，或者说，我们要明白，什么情况下一题多解才有意义，可以有两点：

1. 一题多解在教学上来说，可能是因为学生在做题过程中不能立刻写出最简洁的证法，所以作为老师来说，应该知道各种解法，这样才能引导学生，所以，孙维刚老师自己研究出24种解法，对他自己的教学能力肯定就有提高，但对于学生来说，太多就没有必要了，毕竟一个人一次只能走一条路，能把这一条路走清楚，然后在三四条路里面比较，找出合理性，就很不错了。

2. 一题多解在科研上来说，体现在下一道题。比如素数有无穷多个，我们有欧几里德证法，但是如果接着考虑算数级数中的素数有无穷多个，欧几里德证法就不管用了，此时就必须重新考虑新的证法，若换成中学生的语言，这不就叫一题多解。

所以说，脱离科研的一题多解，没什么意义。数学家，心中有思，思之所在，才有意义。一个数学家要养成自己的品味，有了这种品味，有了这种成熟度，自然知道自己要干什么。所以，你的困惑可能是关于这个。

sxhmz100 昨天 17:30这以上就是我最近的一些烦恼，想不通的问题，还请王老师能抽时间帮忙解答，在此致谢。

数学家的品味，眼光，成熟度如何培养，你不光可以问我，还可以看看更优秀的数学家的博客，像陶哲轩(https://terrytao.wordpress.com/他这么伟大的数学家，博客上也有针对中学生的数学内容和数学建议）。如果因为是国外网站被GFW了上不去，你们年轻人想必是知道办法的，就不用我在这儿说了。

目前适合中学生阅读的数学科普读物，我自己手头上也没有一个很好的列表，所以大家可以慢慢建起来，你也可以把一些书跟我分享。但是如果不限于数学，而扩张到物理学，科普读物的范围就大多了，物理学相对来说好做科普，而数学则难得多，我自己感觉很好的一本是《从一到无穷大》，还有爱因斯坦的那本物理学科普书（不过我大学时才看到）。

所以，我的建议是，1. 如果能力特别强则走奥数是一条路，2. 如果能力还没到那就老老实实参加高考，课外闲暇时读读科普。3.如果能力特别强，又不想走奥数，那不妨提前高考。4.如果能力特别强，又不想走奥数，又不想提前高考，虽然我不太建议这最后一条路，但你还是可以找我们首师大数学系的李克正老师来商量讨论，他正在参与张英伯老师组织的中学生英才数学教育项目。

另外，你看的这本孙维刚老师的书，我似乎没有印象，请告诉我书名，最好有个下载地址。