高等代数教学计划与方案

王永晖

高等代数，我是分别采用三本书，对应了学生的三个阶段，也分别对应地解决了高等代数、即线性代数的三大问题。

一 线性方程组的求解问题

这个阶段，使用同济大学的《线性代数》教材，好处是，这本书很薄，但实际上它的很多证明很精妙，简洁。这对于大一新生第一学期的入门来说，实际上是很有必要的。

这本书的内容，其实就第一阶段的范围之内来看，并不比数学系相应教材少，而且因为突出了矩阵思想，更适合入门。

我当年也是因为曾经教过非数学系的线性代数课程，才了解这本书的，使用之后才发现这个特点。

我在2011级数学系实验班的教学中，第一学期就采用了这本教材。可能当时数学系的一些同事，还私下里（善意地）笑话我了一下。不过，当时的院长李庆忠老师非常尊重老师们的个人决定，同意了我的这种做法。

其实，我们首师大数学系的大一新生，跟其他系的学生，在数学水平上并无区别，对于他们来讲，直接上过于抽象的体系，会非常痛苦，基本上就打趴下了，什么也学不到，虚度四年大学时光。

到了大三的时候，问他们那些基本概念，基本定义，就全忘光了。其中还有不少是想考研的。

二   什么是维数。

这个阶段，则使用传统的数学系教材，北京大学的《高等代数》，石生明，王萼芳两位老师所写。要说的是，石生明老师从90年代就调到首师大数学系工作。

第二学期采用这本书，会跟第一学期教材有一定的重复，正好当做复习，也是很有必要的。讲的时候，第一章，多项式理论，是一个难点，以往消耗课时过多，容易耽搁大一新生第一学期的进度。现在放到第二学期，同学们已经经过第一学期的大学数学思维锻炼，情况会好很多。

维数问题，对应书中的线性无关性和线性空间，章节讲授顺序，见下文微调部分的第1项。

三  特征值问题（谱理论）

这个阶段，我们使用国外大学教材，是专门为数学系学生所写的线性代数教材，《Linear Algebra Done Right》.其假设也是学生已经学过了普通的线性代数之后，进一步深造才学的。

这个教材，把国内传统的特征值这一块内容，接轨于现代数学的想法，叫做谱理论，学了这一块儿内容之后，到高年级的时候，接触泛函分析，就会自然得多。

很可惜的是，国内高等代数教材，出了很多，大多只是新瓶装旧酒，内容搬来搬去，或者最多做一些微调而已。Linear Algebra Done Right这本书，是在内容覆盖上，远远超过了国内教材，写的东西，处理的方法，国内教材就没有。

这本国外教材，虽然也有中文翻译版了，但是我们使用的时候，还是提倡学生直接看英文原版。毕竟是大二学生了，很多学生还想着出国，或者考研，数学学习方面，还是要学会看英文原版书。

不过，不建议大一新生一上来就使用英文原版，效果不会好，因为，数学难度，和英文阅读难度，两个加在一起，就超过大一新生负荷了。

因为首师大第一学期的课时比较少，所以，我往往只能是在第三学期完成这部分内容，或者由学生自愿组织起本科生讨论班，私下里进行。

可能会有某些老师不希望增加低年级基础课的课程时间，但是，我觉得有两个理由，

一、我们增加的内容，不是传统教材上的内容，本身就是新的，是可以承接高年级课程，如泛函分析等，只不过是有限维空间上的而已，正好可以作为高年级课程的例子。再者，相对于抽象代数，其实线性代数的很多知识，更具有现代性。我们就已经有老师，在研究生抽象代数基础课上，增加了其中线性代数部分的比例，如果有本科内容去衔接，效果肯定就更好。

二、首师大数学系的学生，水平只能慢慢地一点一点儿往上涨，而且很多是师范生，他们能把东西一点一点儿吃进去就行了，不必求在速度了。

我想，老师们所最注重的，应该都是一致的，大家还都是有共识的，那就是学生真正养成数学能力，把学到的东西，真正学会了，对于首师大的生源水平来说，低年级阶段的攀爬时间，是必要的。

鉴于上面的框架，有几个微调，

1a. 第二学期的课程，如果课时有限的条件下，可以先不讲高代书上的特征值内容，即第7章和第8章。等到第三学期，直接使用Linear Algebra Done Right上的讲法就可以，而且，Linear Algebra Done Right讲的时候，必然跟第二学期又有一些重复，即线性空间这一部分。

       这种重复是必要的。同样的定理，不同理念下的处理方法，会让学生大开眼界。

1b. 多项式理论，在书中的用处有两个地方，一个是特征值，一个是欧氏空间。所以，第二学期讲课的时候，也可以不按照原书顺序来讲。可以直接先讲线性无关性（复习），线性空间，然后再是多项式理论，高代书的第一章和第五章，最后是欧氏空间。

2. 行列式的定义，为什么要那么定义，中国教材中一般都没讲到，我查到的书中，好像只有中科大的线性代数讲到了。国外教材，则可见于Serge Lang的本科生教材 Linear Algebra。

       即行列式的唯一性定理，一个函数，满足行列式的那些基本性质之后，这个函数只能是行列式。其几何解释是体积，那么如何利用这种体积的理解，去证明Cramer法则。

以往教学，第三学期的尝试，或者是使用抽象代数课堂的一部分课时，或者是只能在学生自愿组织的本科生讨论班里进行，已经进行过两届学生，第一届40人，第二届7人。

希望以后进一步教学改革的时候，能够更顺畅些。谱理论这块内容，怎么说都还是值得加入的。