非线性直线方程可看作是白噪声（White Noise）激励积分系统时所产生的输出。

白噪声n(t)的功率谱密度（Power Spectral Density）是其自相关函数的傅立叶变换，即

式中ω为角频率，N₀为正实常数，N₀的物理意义代表白噪声信号在单位电阻上产生的平均功率。

根据傅里叶变换的积分特性，可得非线性直线方程x(t)的功率谱密度

显然，非线性直线方程x(t)的功率谱密度与频率的平方成反比，因此，非线性直线方程x(t)的图像为信号能量集中在低频段的红噪声（Red Noise）或布朗噪声（Brownian Noise）。

此外，非线性直线方程x(t)的功率谱密度与频率的平方成反比，说明x(t) 是一种分形指数γ= 2或Husrt指数H=0.5的1/f分形信号，在时间尺度上具有局部自相似性（图1）。

图1 非线性直线方程图像的自相似性

1/f 分形信号具有自相似和长程相关性等重要特性，是一种微观随机、宏观确定的自然现象，广泛地存在于自然界和人类社会活动中，如布朗粒子运动轨迹、陀螺随机游走误差、股票价格随机波动、固体表面轮廓、心率及脑波的波动等。

1/f 分形信号在宏观尺度上存在可以识别和利用的规律，具有可预测性。 

参考：

[1] 你见过非线性的直线方程吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1434931.html   

[2] 非线性直线方程的物理意义

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435103.html   

[3] 非线性直线方程的哲学意义

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435351.html

[4] 非线性直线方程的自相关函数

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435492.html

[5] 非线性直线方程的系统模型及频域特性

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435627.html