自相关函数（Autocorrelation Function）是一个信号与延迟信号之间的相似性度量，可用来判断信号在不同时刻取值的关联程度，也就是信号的随机程度。

白噪声（White Noise）信号n(t)是一种纯随机信号，其自相关函数为：

式中t为延迟时间，N₀为正实常数，δ(t)为单位冲击函数，N₀的物理意义代表白噪声信号在单位电阻上产生的平均功率。

图1（a）为白噪声n(t)的自相关函数图形，可以看出，白噪声n(t)仅在时间间隔τ=0时才有相关性，不同时刻的n(t)互不相关，完全随机变化。

图1 白噪声与非线性直线方程的自相关函数

由非线性直线方程

可推导出x(t)的自相关函数

式中N₀为白噪声n(t)的平均功率，t为延迟时间。

图1（b）为非线性直线方程x(t)的自相关函数R_x(τ)图形。

当t趋于无穷小时（微观尺度），R_x(τ)图形趋于无限窄，表明x(t)具有很强的随机性。

当t趋于无限大时（宏观尺度），R_x(τ)图形趋于无限宽，表明x(t)具有很强的确定性。

因此，从非线性直线方程x(t)的自相关函数R_x(τ)可以看出，非线性直线方程的随机性和确定性完全取决于观测的尺度。     

参考：

[1] 你见过非线性的直线方程吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1434931.html   

[2] 非线性直线方程的物理意义

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435103.html   

[3] 非线性直线方程的哲学意义

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435351.html