“系统”是指能对各种“输入信号”按一定规则进行加工、运算和变换，并产生相应“输出信号”的装置或算法。

从《信号与系统》的角度看，非线性直线方程可看作是白噪声（White Noise）激励积分系统时所产生的输出（图1）。

图1 非线性直线方程系统模型

非线性直线方程的系统模型由开关和积分器两个元件串联而成，开关为非线性元件，其闭合过程随时间t而变化，因此非线性直线方程的系统模型为非线性时变系统。

开关的作用是将定义在[-∞，+∞]上的白噪声输入信号从 [0，t] 区间上截断，积分器对白噪声截断信号进行积分运算并产生输出。

白噪声n(t)的功率谱密度在频域均匀分布，白噪声n(t)通过图1所示的系统后，系统输出x(t)中的频率成分就完全取决于系统频率特性的影响。

积分器具有低通滤波特性，白噪声通过积分器后被变换为能量集中在低频段的红噪声（Red Noise）或布朗噪声（Brownian Noise）。

开关将白噪声信号截断后，会因“频谱泄露”效应而产生直流分量。直流分量通过积分器后转换为斜坡信号，在输出x(t)中产生线性趋势项。

另外，积分器具有记忆性，系统当前时刻的输出不仅与当前时刻的输入有关，而且与之前所有时刻的输入有关，表明非线性直线方程具有很强的“记忆性”和“相关性”。

图1所示的非线性直线方程系统模型的频率特性为：

式中，Sinc(ωt)为辛格函数，是正弦函数Sin(ωt)与单调递减函数1/ ωt的乘积。

图2为非线性直线方程系统模型的幅频特性。

图2 非线性直线方程系统模型幅频特性

由图2的幅频特性可以看出，非线性直线方程系统模型是一个典型的低通滤波器，第一个零点以内集中了90%以上的信号能量，其通带截至频率为|π/t|，也就是低通滤波器的带宽与时间t成反比。

当时间t趋于无穷小时，低通滤波器的带宽趋于无穷大，白噪声信号n(t)中所有频率的分量都可以通过系统，系统输出x(t)表现为完全随机的白噪声。

当时间t趋于无限大时，低通滤波器的带宽趋于零，系统只允许白噪声截断信号中的直流分量通过，系统输出x(t)表现为确定性的匀速直线运动（图3）。

图3 非线性直线方程图像

因此，从非线性直线方程的系统模型和幅频特性可以看出，非线性直线方程不仅能能描述微观尺度下的随机运动，而且可描述宏观尺度下的确定运动，将随机运动和确定运动这两种看似完全不同的运动形式统一到了同一个运动方程中。

参考：

[1] 你见过非线性的直线方程吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1434931.html   

[2] 非线性直线方程的物理意义

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435103.html   

[3] 非线性直线方程的哲学意义

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435351.html

[4] 非线性直线方程的自相关函数

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435492.html