“混淆概念”是指在同一思维过程中，把两个完全不同的概念当作同一概念等同使用，因而违反同一律逻辑要求的逻辑错误。

数学史上最著名的“混淆概念”逻辑错误出现在牛顿创立的《微积分》中。牛顿违反同一律逻辑要求，将∆x≠0和∆x=0等同使用，破坏了《微积分》理论的逻辑完备性。英国大主教贝克莱（Berkeley）强烈指责牛顿是有意识地“混淆概念”，批评《微积分》理论是“分明的诡辩”，引发了一场持续150多年的“第二次数学危机”，《微积分》理论险被推翻。后来柯西（Cauchy）等数学家将极限概念作为《微积分》的逻辑基础，才消除了《微积分》“混淆概念”的逻辑错误，彻底解除了数学史上的第二次危机。

“样本函数”和“随机变量”是《随机过程》教科书中的两个具有完全不同内涵与外延的基本概念，但是，《随机过程》在其基本假设（公理、定义）中，却出现了将样本函数和随机变量这两个概念等同使用的“混淆概念”逻辑错误，从逻辑出发点就破坏了《随机过程》理论的逻辑完备性和客观真理性，导致《随机过程》理论不仅在逻辑上不能自洽，而且与经验事实不符。

如此明显的“混淆概念”逻辑错误在以“严谨逻辑性”著称的数学领域存在近百年，至今尚未被发现，主要有以下两个主要原因：

一、基本概念不清

《随机过程》教科书对随机过程、样本函数和随机变量三个基本概念的定义如下：

随机过程（Stochastic Process）是定义在Ω×T上的二元函数X(ω,t)。固定ω，X(ω,t)是时间t的函数，称为随机过程X(ω,t)的一个样本函数（Sample Function）或一条样本轨道（Sample Path），简记为x(t)；固定t，X(ω,t)是样本点ω的函数，称为随机变量（Random Variable），简记为X(t)。

显然，样本函数x(t) 和随机变量X(t)是两个具有不同定义域和值域的单值函数，也是两个内涵与外延完全不同的数学概念。

数学概念是人脑对现实世界数量关系及空间形式的思维反映，从《物理学》角度看，样本函数、随机变量和随机过程这三个数学概念是从不同角度分别描述粒子随机运动的三种数学工具（图1），样本函数、随机变量和随机过程的物理意义可分别表述为：

样本函数：描述一个粒子在不同时刻的位置；

随机变量：描述所有粒子在同一时刻的位置；

随机过程：描述所有粒子在不同时刻的位置。

图1 随机过程、样本函数和随机变量定义示意图

以北大数院院长陈大岳和其他几位教授合编的《应用随机过程》教材讲义为例，说明随机过程领域的专家学者们对随机过程“基本概念不清”的事实。

《应用随机过程》教材讲义对随机过程、随机变量和样本函数三个概念的文字解释如下（“混淆概念”逻辑错误典型案例分析：北大数院《应用随机过程》）：

（1）随机变量X可以被视为一个粒子；

（2）我们将随机变量等同于一个位于空间S中的粒子；

（3）随机过程（stochastic process）则是一个运动的粒子；

（4）随机过程的取值是S中的一条轨道；

（5）我们可以将随机过程理解为一条随机轨道。

显然，北大数院的院长及教授们将随机过程、随机变量和样本函数这三个内涵与外延完全不同的数学概念错误地理解为同一个数学概念，并错误地认为这三个完全不同的数学概念描述的是同一个物理现象：一个粒子的位置变化过程。

二、思维逻辑混乱

为了保证数学理论的确定性和无矛盾性，数学家在进行假设、推理或证明等数学思维过程中，必须要遵循逻辑思维基本规律“同一律”，不能把两个完全不同的概念当作同一概念而等同使用。

但是，在《随机过程》教科书的多个基本假设和定义中，数学家们均违反同一律逻辑要求，将样本函数和随机变量这两个完全不同的数学概念当作同一概念等同使用。

以布朗运动定义为例，分析说明维纳（Wiener）将样本函数和随机变量当作同一概念等同使用的逻辑错误（图2）。

图2 《随机过程》布朗运动定义逻辑错误分析 

根据随机过程定义，布朗运动定义中的被定义项“X(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移”是随机过程X(ω,t) 固定ω时的一个样本函数（时间t的函数），维纳在定义项（3）中也进一步明确了X(t) 为时间t的连续函数。

但是，维纳在定义项（1）和定义项（2）中，却用随机变量X(t)来描述“一个布朗粒子在t时刻的位移”，将随机变量和样本函数当作同一概念等同使用，明显违反同一律逻辑要求，产生了 “混淆概念”的逻辑错误。

维纳在布朗运动定义中用随机变量替换样本函数，无形中使布朗运动研究对象从“一个布朗粒子”改变为“布朗粒子集合”，必然会导致《随机过程》布朗运动理论出现在逻辑上不能自洽，并且与《物理学》实验结果不符的反常问题。

总之，随机过程领域的专家学者们不仅基本概念不清，而且思维逻辑混乱，从而导致《随机过程》教科书中的“混淆概念”逻辑错误始终未被发现。

参考：

图解随机过程、随机变量和样本函数三个基本概念及其相互关系

“混淆概念”逻辑错误典型案例分析：北大数院《应用随机过程》

《随机过程》布朗运动定义的来龙去脉

数学家混淆概念引发的数学危机与金融危机