1827 年，英国植物学家布朗用显微镜观察悬浮在液体中的花粉微粒时，发现微粒总是在做无规则运动，后来人们就将这种无规则运动称为布朗运动。

布朗运动是一种广泛存在于自然科学、工程技术和社会科学等领域中的随机现象，如空气污染扩散、陀螺随机游走和股票价格波动等。

由于宏观可观测物理量只与大量微观粒子的统计规律有关，因此物理学家并不关注单个微观粒子的运动情况。爱因斯坦在1905年研究布朗运动时，仅给出了描述大量布朗粒子位置变化过程的扩散微分方程，以及大量布朗粒子在扩散过程中的浓度分布规律，并没有研究单个布朗粒子的位置随时间变化规律。

1921年，美国著名数学家维纳（Wiener）将大量布朗粒子的浓度分布规律当作一个布朗粒子的位移变化规律，给出了《随机过程》布朗运动定义。由于混淆了浓度和位移基本概念，导致《随机过程》布朗运动理论不仅与《物理学》实验结果不符，而且在逻辑上不能自洽。

一、爱因斯坦布朗运动理论

爱因斯坦认为布朗粒子的不规则运动是由大量液体水分子的随机碰撞造成的，并假设：

（1）同一布朗粒子在不同时间间隔中的运动相互独立；

（2）不同布朗粒子之间的运动互不相关。

从而推导出了布朗运动扩散方程：

\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}=D\frac{\partial^{2}f(x,t)}{\partial x^{2}}

式中f(x,t)为t时刻位置x处的布朗粒子浓度（单位体积粒子数），D为扩散系数。

显然，布朗运动扩散方程就是Fick扩散方程，其解析解为：

f(x,t)=\frac{n}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{\frac{-x^{2}}{4Dt}}

式中n为液体中的悬浮粒子数（初始浓度）。

上式表明：大量布朗粒子在扩散过程中的浓度f(x,t)服从均值为零、方差为2Dt的正态分布，即

f(x,t) ~ N(0，2Dt)

图1给出了10个布朗粒子在扩散过程中的位移实验曲线及不同时刻的浓度分布曲线。

图1 布朗粒子在扩散过程中的位移曲线与浓度分布曲线

二、《随机过程》布朗运动定义

1913年，维纳完成哈佛大学的博士论文答辩后，向学校申请了旅行奖学金，选择在英国剑桥大学留学，师从英国著名哲学家罗素（Russell）。

罗素是20世纪影响最大、声望最高的思想家之一，并于1950年获诺贝尔文学奖。罗素也是英国著名的数学家和逻辑学家，罗素和其老师编著的《数学原理》是关于哲学、数学和数理逻辑的巨著，奠定了20世纪数理逻辑发展的基础。

罗素对物理学中的重要发现有着敏锐的嗅觉，他建议维纳去阅读爱因斯坦1905年发表的三篇研究论文，并教导维纳牢牢记住：数学很重要，但必须要有坚实的物理概念进行支撑。

维纳阅读完爱因斯坦关于相对论、光电效应和布朗运动的三篇论文后，对单个布朗粒子的随机运动现象及规律产生了浓厚兴趣。

维纳发现爱因斯坦的布朗运动理论描述的是大量布朗粒子在t时刻位置x处的浓度分布规律，而没有涉及“一个微粒所走曲线的数学性质”。

       维纳首先假设一个布朗粒子在t时刻的位移X(t)服从与浓度f(x,t)相同的正态分布规律，并给出了如下的布朗运动定义：

设X(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移，X(0)=0，若

（1）X(t)为平稳独立增量过程；

（2）X(t)～N(0，σ² t)，其中σ>0为常数；

（3）X(t)是t的连续函数。

则称X(t)是参数为σ²的布朗运动或维纳过程。

显然，维纳给出的布朗运动定义违背了逻辑思维规律中的同一律，把浓度和位移这两个完全不同的物理概念当作同一个概念使用，将浓度f(x,t)与时间t的数量关系当作位移X(t)与时间t的数量关系，出现了“偷换概念”的逻辑错误，必然导致《随机过程》布朗运动理论出现逻辑上不能自洽、与《物理学》实验结果不符等反常问题。

参考：

布朗运动理论中的反常问题及原因分析（后印本）