数学以严谨的逻辑性著称，但是，数学史上也有著名数学家因违反逻辑思维基本规律“同一律”，把两个完全不同的概念当作同一概念等同使用，从而出现 “混淆概念”的逻辑错误，导致数学理论的逻辑完备性和客观真理性遭到严重破坏，最终引发重大数学危机和金融危机的典型案例。

一、同一律

同一律（The Law Of Identity）是指在同一数学思维过程中，所使用的数学概念必须要与其自身始终保持同一，也就是说，无论一个数学概念被使用或重复多少次，这个数学概念的内涵和外延必须是确定的，这样才能保证数学理论的确定性和无矛盾性。

同一律可用公式表示为：

A=A

同一律是数学家必须要遵循的逻辑思维基本规律，同一律要求数学家在进行假设、推理和论证时，所使用的概念必须具有确定性。

如果数学家在假设、推理和证明过程中，把两个完全不同的概念当作同一概念等同使用，就会违反同一律，产生“混淆概念”的逻辑错误，破坏数学理论的逻辑完备性和客观真理性，导致得出的结论在逻辑上不能自洽，或与经验事实不符。

如果是有意识地、自觉地混淆概念，就是诡辩。

二、牛顿与第二次数学危机

17世纪中叶，第一次工业革命刚刚兴起，面对生产实践和自然现象中的各种运动与变化，传统数学方法已无能为力，人们迫切需要一种新的数学工具，来研究各种运动现象及变化规律，从而引发了《微积分》的诞生。

牛顿在创立《微积分》理论时，首先假设质点位移x(t)的增量∆x≠0，然后在推理和证明过程中又随意令∆x=0，在《微积分》理论中出现了多处违反同一律（混淆概念）的逻辑错误，破坏了《微积分》理论的逻辑完备性。

英国大主教贝克莱（Berkeley）强烈批评牛顿是有意识地混淆概念，《微积分》理论是“分明的诡辩”，使《微积分》的逻辑完备性遭到严重质疑，导致当时的数学界产生了极大的思想混乱和精神恐慌，使数学家们陷入到极度不安的深渊之中，引发了一场持续150多年的“第二次数学危机”，《微积分》理论险被推翻。

整个18世纪，数学家们的首要任务就是消除牛顿《微积分》理论中“混淆概念”的逻辑错误，几乎每一位数学家都为此做出了巨大的努力。

后来柯西（Cauchy）等数学家将极限概念作为《微积分》的理论基础，才彻底消除了《微积分》中“混淆概念”的逻辑错误，解除了数学史上的第二次危机。

事实上，贝克莱并没有否认《微积分》结果的正确性，他反对的是牛顿“混淆概念”的逻辑错误，他指出：“逻辑错误也许能产生正确结果，但是并不会产生科学”。

三、维纳与金融危机

1913年，维纳完成哈佛大学的博士论文答辩后，去英国剑桥大学留学，师从英国著名哲学家罗素（Russell）。

罗素对物理学中的重要发现有着敏锐的嗅觉，他建议维纳去阅读爱因斯坦1905年发表的三篇研究论文。

维纳阅读完爱因斯坦关于相对论、光电效应和布朗运动的三篇论文后，对单个布朗粒子的随机运动现象及规律产生了浓厚兴趣。

维纳将爱因斯坦描述大量布朗粒子在扩散过程中的浓度分布规律当作单个布朗粒子的位移变化规律，给出了如下的布朗运动定义：

设X(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移，X(0)=0，若

（1）X(t)为平稳独立增量过程；

（2）X(t)～N(0，σ² t)，其中σ>0为常数；

（3）X(t)是t的连续函数。

则称X(t)是参数为σ²的布朗运动或维纳过程。

显然，一个布朗粒子在t时刻的位移X(t)是时间t的函数（样本函数），维纳在定义项（3）中也进一步明确X(t)是t的连续函数。

在《随机过程》理论中，样本函数和随机变量是两个内涵与外延完全不同的基本概念（图1），但是，维纳却违反同一律，在定义项（1）和（2）中又将X(t)当作随机变量，将样本函数和随机变量这两个完全不同的概念当作同一概念等同使用，因此，产生了“混淆概念”的逻辑错误，破坏了《随机过程》布朗运动理论的逻辑完备性和客观真理性，导致《随机过程》布朗运动理论出现了逻辑上不能自洽，与《物理学》实验结果不符等反常问题，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。

图1 样本函数与随机变量

1970年，布莱克（Black）和斯科尔斯（Scholes）根据维纳布朗运动定义，推导出了著名的B-S期权定价公式。由于从理论上解决了股票、债券、货币、商品等金融衍生产品的合理定价问题，因此被迅速广泛地应用于金融市场，直接导致了“第二次华尔街数学革命”，使金融市场获得了空前规模的发展。1997年，斯科尔斯因此获得了第二十九届诺贝尔经济学奖，布莱克不幸英年早逝，没有与斯科尔斯一起领奖。

由于维纳布朗运动定义中隐含了“混淆概念”的逻辑错误，B-S期权定价公式只能用描述随机变量离散程度的标准差来度量样本函数的波动程度，因此无法正确描述并预测金融市场的波动趋势及波动程度，导致B-S期权定价公式成为造成 1987、1997和2007年三次重大金融危机的罪魁祸首。

英国著名数学家斯图尔特（Stewart）在《改变世界的17个方程》书中写道：B-S期权定价公式改变了世界，它不仅创造了一个金额难以估计的产业，而且也造成了人类历史上最大的金融体系崩溃。

被誉为“中国金融数学开创者”、获得2020未来科学大奖“数学与计算机科学奖”的彭实戈院士，在《中国基础研究发展报告（2019年）》第二章中国数学前沿进展中明确指出：B-S期权定价公式是造成以前历次重大金融危机的关键性原因（图2）。

图2 《中国基础研究发展报告（2019年）》

四、结论

牛顿 “混淆概念”的逻辑错误引发了一场持续150多年的“第二次数学危机”，但也促成了极限理论的诞生和分析理论的完善，在推动数学取得突破性发展的过程中发挥了巨大的作用。维纳 “混淆概念”的逻辑错误引发了三次重大金融危机，也即将引发一场持续多年的重大数学危机，维纳 “混淆概念”逻辑错误的纠正将导致《随机过程》教科书知识体系发生重大范式转换，使人类对随机现象的认识发生质的飞跃。

参考：

样本函数、随机变量和随机过程三个数学概念的物理意义

牛顿《微积分》与《随机过程》的“偷换概念”逻辑错误对比

布朗运动理论中的反常问题及原因分析（后印本）