一、频域分析的特点：

频域（Frequency Domain）是描述事物周期波动特性时用到的一种坐标系，频域以频率轴为坐标表示事物运动与频率之间的数量关系。使用傅立叶变换，任何随时间变化的随机运动，均可被分解成为不同频率的谐波分量（图1）。

图1 随机运动频域分解

频域最重要的特点是：它不是真实的世界，而是一个抽象的数学构造。频域分析能够引导人们从随机现象的表面深入到随机现象的本质，看到时域角度看不到的问题，发现隐藏在随机现象下的确定性规律，从而能深刻地揭示出随机现象的特征及规律，因此，频域也被专业学者们称为上帝的视角。

随机现象虽然在时域无法用确定性的数学解析式来描述，但是在频域却可用确定性的数学解析式表示，提供比时域更直观、更丰富的数字特征信息。

例如，在时域完全随机的零均值不相关白噪声在频域的功率谱密度可表示为

式中ω为角频率，N₀为正实常数，N₀的物理意义代表白噪声信号在单位电阻上产生的平均功率。

上式表明：白噪声n(t)的功率谱密度在整个频率轴[-∞，+∞]上均匀分布，即随机性的白噪声信号频带无限宽。

在时域完全确定的直流信号在频域的功率谱为

式中a₀为正实常数，a₀的物理意义代表直流信号的电压幅值或电流强度。

上式表明：确定性的直流信号仅在频域ω=0处取值，即确定性的直流信号频带无限窄。

二、布朗运动方程及系统模型

设x(t)为布朗粒子在t时刻的位移，x(0)=0，根据布朗运动定律，可直接写出布朗运动方程

式中的n(t)为定义在[-∞，+∞]上的零均值不相关白噪声。

从信号与系统角度看，布朗粒子的位移x(t)可看成是白噪声信号n(t)激励图2所示系统时产生的输出响应。

图2 布朗运动系统模型

白噪声n(t)的功率谱密度在频域均匀分布，白噪声n(t)通过图1所示的系统后，系统输出x(t)中的频率成分就完全取决于系统频率特性的影响，因此，可把布朗运动位移x(t)随机特性的研究转变为对确定性系统频率特性的研究。

三、布朗运动系统模型频率特性分析

布朗运动系统模型的频率特性为

式中，Sinc(ωt)为辛格函数，是正弦函数Sin(ωt)与单调递减函数1/ ωt的乘积。

图3为布朗运动系统模型频率响应的幅频特性。

图3 布朗运动系统模型幅频特性

由布朗运动系统模型的幅频特性可以看出，布朗运动系统模型是一个典型的低通滤波器，第一个零点以内集中了90%以上的信号能量，其通带截至频率为|π/t|，也就是低通滤波器的带宽与时间t成反比。

当时间t趋于无穷小时，低通滤波器的带宽趋于无穷大，白噪声信号n(t)中所有频率的分量都可以通过系统，布朗粒子位移x(t)表现为完全随机的白噪声。

当时间t趋于无限大时，低通滤波器的带宽趋于零，系统只允许白噪声截断信号中的直流分量通过，布朗粒子位移x(t)表现为确定性的匀速直线运动（图4）。

图4 布朗粒子位移曲线 

因此，布朗粒子的随机性和确定性只是同一事物在不同观察尺度下的表现形式。