1827年，英国植物学家布朗用显微镜观察悬浮在液体中的花粉微粒时，发现微粒在微观尺度下总是在做无规则运动（图1）。

图1 微观尺度下的布朗运动

1905年，爱因斯坦首先对布朗运动进行了定量研究，把大量布朗粒子的浓度（单位体积粒子数）看成是空间和时间的函数f (x,t)，并推导出了描述布朗运动的扩散微分方程

式中D为扩散系数。

显然，式中的f (x,t)是宏观尺度下的可观测物理量，因此布朗粒子在宏观尺度下的扩散过程可用一个确定性的微分方程进行描述。

布朗运动扩散微分方程的归一化解析解为

上式表明，布朗粒子浓度f (x,t)在空间和时间的扩散过程中服从（0，2Dt）正态分布，图2给出了布朗粒子的浓度f (x,t)在不同时刻随空间位置的变化曲线。

图2 布朗粒子浓度分布曲线

设x(t)为布朗粒子在t时刻的位移，x(0)=0，则布朗运动的位移公式为

式中V(t)为布朗运动在 [0，t]区间上平均速度。

布朗运动位移公式表明：布朗粒子的位移x(t)等于其平均速度V(t)与时间t的乘积，因此，布朗运动位移x(t)的特性完全取决于其平均速度V(t)的特性。

布朗运动在[0，t]区间的平均速度为

式中n(t)为定义在[-∞，+∞]上的零均值不相关白噪声。

上式表明，布朗粒子的平均速度V(t)为白噪声n(t)在[0，t]区间上的算数平均值。

由概率论大数定律，算数平均值V(t)反映了白噪声n(t)在[0，t]区间中的确定性成分，当t充分大时，V(t)收敛于一个常数，因此，布朗运动在宏观尺度下表现为确定性的匀速直线运动。

不同的布朗粒子具有不同的平均速度V(t)，设白噪声样本函数n(t)的功率谱密度为N₀，则布朗粒子的平均速度V(t)服从（0，N₀/t）正态分布。

图3为根据布朗运动扩散微分方程模拟出的布朗粒子扩散过程，初始条件：x(0)=0，f (x,0)=0（x≠0)。显然，所有从原点出发的布朗粒子均以匀速直线运动的方式向远离原点的方向扩散。

图3 宏观尺度下的布朗运动