设x(t)为布朗粒子在t时刻的位移，x(0)=0，则布朗粒子的运动学方程为

式中n(t)为定义在[-∞，+∞]上的零均值不相关白噪声函数。

对布朗粒子运动学方程进行变换，可得布朗运动位移公式  

式中V(t)为布朗运动平均速度。

布朗运动位移公式表明：布朗粒子的位移x(t)等于其平均速度V(t)与时间t的乘积，与牛顿力学中的质点位移公式完全一致。

由布朗运动位移公式可以看出，布朗粒子位移x(t)的运动特性完全取决于其平均速度V(t)的特性。

当t较小时，x(t)波动剧烈，布朗运动表现出很强的随机性；当t逐渐变大时，x(t)的波动幅度逐渐变小；当t充分大时，V(t)收敛为一个常数，x(t)的运动轨迹趋于一条斜率为V(t)的直线，x(t)就成为牛顿质点运动学描述的匀速直线运动，表明在微观尺度下呈现出很强随机性的布朗运动，在宏观尺度上具有稳定的确定性。

图1（a）和图1（b）分别为布朗粒子在微观尺度和宏观尺度下的位移曲线。

图1布朗运动位移曲线

事实上，液体中悬浮微粒的实际扩散过程就是一个确定性与随机性统一的物理现象。

观察一小滴墨水滴入纯净水后的扩散过程。用显微镜观察，悬浮在水中的碳粒纷纷在做随机性的布朗运动（图2）；用肉眼观察，墨水中的大量碳粒分别以不同的速度，以匀速直线运动的方式从高浓度区域向低浓度区域做确定性转移（图3）。

图2 微观尺度下的布朗运动

图3 宏观尺度下的布朗运动

参考：

布朗运动定律

布朗粒子的运动学方程

布朗运动平均速度