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维纳过程增量逻辑悖论

已有 1110 次阅读 2021-12-6 09:28 |个人分类:随机过程|系统分类:科研笔记

维纳过程(Wiener process)也称作布朗运动过程,其理论不仅在概率论与随机过程学科中占有相当重要的地位,而且也是刻画布朗粒子运动、陀螺随机游走和股票价格随时间演变过程的重要数学工具,在自然科学、工程技术和社会科学领域有着广泛应用。

一、维纳过程定义及增量

1827年,英国植物学家布朗用显微镜观察悬浮在水中的花粉微粒时,发现悬浮微粒总是在做无规则的运动。1905年,爱因斯坦认为悬浮微粒的不规则运动是由于受到大量液体分子的连续随机碰撞造成的,并根据扩散微分方程推导出了布朗运动的物理模型。1923年,维纳将爱因斯坦的物理模型抽象为数学模型,并给出了布朗运动的数学定义。

x(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移(图1),x(0)=0,定义

1x(t)为平稳独立增量过程;

2)对于任意的t>s0x(t)- x(s)N(0σ2 (t-s)),其中σ>0为常数;

3x(t)t的连续函数。

则称x(t)是参数为σ2的布朗运动,或维纳过程。

图3.png

1 布朗粒子位移曲线

 显然,维纳过程的增量x(t)- x(s)是服从正态分布的随机变量

二、维纳过程增量逻辑悖论

“悖论”是指自相矛盾的命题,或荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了逻辑悖论的定义:如果某一理论的公理看上去是真实的,它的推理规则也是合理的,但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题,那么,我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论。

对于任意的t>s0s=Tat=Tb分别为布朗粒子首次到达图1ab的首中时,则x(s)=x(Ta)=ax(t)=x(Tb)=b均为常数,因此维纳过程的增量可表示为

 x(t)- x(s)= x(Tb)- x(Ta)=b-a

上式表明维纳过程的增量x(t)- x(s)为一常数,与维纳过程定义中x(t)- x(s)随机变量的命题矛盾。

三、结论

矛盾律是数学思维过程中必须要遵守的逻辑思维基本规律之一。矛盾律要求在同一思维过程中,两个不同的数学概念不能反映同一对象,如果用两个不同的数学概念描述同一对象,必然会产生逻辑矛盾或逻辑悖论。维纳过程增量逻辑悖论的出现,暴露出《随机过程》布朗运动理论用两个不同的数学概念来描述同一对象,因此,布朗运动理论深层中隐藏着违背矛盾律的逻辑错误

 



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