随机游走（Random Walk）是《随机过程》教科书中用于描述动态随机现象的一种基本随机过程，许多重要的随机过程都可由它派生出来，其理论不仅在随机过程中占有相当重要的地位，而且也是自然科学、工程技术和社会科学研究动态随机现象的重要数学工具。

一、随机游走定义

设一个质点在水平直线上每隔时间∆t随机移动一步（图1），每次移动前用抛硬币结果来决定质点移动的方向。若抛硬币结果为正面向上，质点向右移动一步；若抛硬币结果为反面向上，质点向左移动一步，则称质点运动为随机游走。

图1 随机游走示意图

  定义：设ξ₁，ξ₂，……，ξ_n独立同分布（i.i.d.），P（ξ_i =1）= P（ξ_i =-1）=1/2，S₀=0，则称

S_n=ξ₁+ξ₂+……+ξ_n                    （1）

为从原点出发的简单对称随机游走。

S_n的物理意义为一个质点移动n步后距原点的距离，图2为质点随机游走的一条位移曲线。

图2 随机游走位移曲线

二、随机游走定义逻辑悖论

“悖论”是英文paradox一词的意译，从字面上讲就是荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了逻辑悖论的定义：如果某一理论的公理看上去是真实的，它的推理规则也是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，那么，我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论。

由式（1）的随机游走定义公式，可直接计算出S_n的数学期望和方差

E(S_n)=0                                      （2）

D(S_n)=n                                      （3）

  在描述实际随机现象时，《随机过程》将式（1）的随机游走定义公式改写为下面的随机游走数学模型

      S_n=S_n-1+ξ_n                                  （4）

例如，金融数学将S_n当作明天的股票价格，则S_n就等于在今天的股票收盘价S_n-1基础上，再增加一个随机变化的增量ξ_n。

质点在第n-1步完成后，到达图2所示的位置b，因此S_n-1=b为一常数，根据式（4）也可计算出S_n的数学期望和方差，有

E(S_n)=b                                      （5）

D(S_n)=1                                      （6）

显然，与式（2）和式（3）的结论互相矛盾。

三、结论

科学理论是具有一定逻辑结构的理论体系，必然要求内部逻辑的完备性，科学理论内部必须要在逻辑上自洽，不应出现自相矛盾的逻辑悖论。逻辑完备性是判断科学理论客观真理性的重要评价标准之一，一旦在某个科学理论中发现了逻辑悖论，则表明该理论的逻辑完备性遭到破坏，该理论被证伪。爱因斯坦曾经说过：“相对论主要吸引人的地方在于逻辑上的完备性。从它推出的许多结论中，只要有一个被证明是错误的，它就必须被抛弃；要对它进行修改而不摧毁其整个结构，那似乎是不可能的。”

为什么S_n-1=b为常数？

沿用了《随机过程》教科书的研究方法，《随机过程》在讨论布朗运动B(t)的首中时T_a时，假设B(T_a)=a，这里a就是常数（图3）。

图3 布朗运动首中时