“悖论”是英文paradox一词的意译，从字面上讲就是荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了逻辑悖论的定义：如果某一理论的公理看上去是真实的，它的推理规则也是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，那么，我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论。

一、随机游走定义及方差性质

设一个质点在水平直线上每隔时间∆t随机移动一步（图1），每次移动前用抛硬币结果来决定质点移动的方向。若抛硬币结果为正面向上，质点向右移动一步；若抛硬币结果为反面向上，质点向左移动一步，则称质点运动为随机游走。

图1 随机游走示意图

       定义：设ξ₁，ξ₂，……，ξ_n独立同分布（i.i.d.），P（ξ_i =1）= P（ξ_i =-1）=1/2，S₀=0，则称

S_n=ξ₁+ξ₂+……+ξ_n                     （1）

为从原点出发的简单对称随机游走，S_n的物理意义为一个质点移动n步后的位移。

由式（1）的随机游走定义公式，可直接计算出第n步时质点位移S_n的数学期望和方差

E(S_n)=0                                        （2）

D(S_n)=n                                       （3）

表明n≥1时，D(S_n)≠0。

二、随机游走常返性逻辑悖论

      随机游走的常返性是指步数n充分大时，从原点出发的质点返回原点无穷多次的概率等于1，即

      P[S_n=0，i.o.]=1                               (4)

  因此有

P[D(S_n)=0，i.o.]=1                         (5)

  即在n充分大时，D(S_n)=0发生无穷多次的概率也等于1，与n≥1时，D(S_n)≠0的性质矛盾。

三、结论

科学理论是具有一定逻辑结构的理论体系，必然要求内部逻辑的完备性，科学理论内部必须要在逻辑上自洽，不应出现自相矛盾的逻辑悖论。逻辑完备性是判断科学理论客观真理性的重要评价标准之一，一旦在某个科学理论中发现了逻辑悖论，则表明该理论的逻辑完备性遭到破坏，该理论被证伪。爱因斯坦曾经说过：“相对论主要吸引人的地方在于逻辑上的完备性。从它推出的许多结论中，只要有一个被证明是错误的，它就必须被抛弃；要对它进行修改而不摧毁其整个结构，那似乎是不可能的。”