随机现象是指在个别试验中其结果呈现出不确定性，但是在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。

例如在连续抛硬币试验中，每次抛出硬币后的结果是完全随机的，无法预测；但是随着抛硬币次数的逐渐增大，整个试验结果中硬币正、反面出现的频率会逐渐稳定于常数0.5附近，《概率论》教课书将这个常数定义为硬币正、反面出现的概率。

设连续抛投硬币n次，第i次抛硬币结果为ξ_i，如果硬币正面向上，令ξ_i=1；如果硬币反面向上，令ξ_i=-1，则连续抛硬币记录结果构成一个随机时间序列：

ξ₁，ξ₂，……，ξ_n

假设n次连续抛硬币试验结果中正面向上的次数为n_H，随着n的增大，正面向上事件（ξ_i=1）发生的频率n_H/n会稳定在常数p=0.5附近，常数p就定义为硬币正面（ξ_i=1）事件出现的概率。

从概率定义可以看出，概率p是用来描述连续抛硬币次数n充分大时，硬币正面（ξ_i=1）事件发生可能性的统计参数。我们虽然无法预测随机时间序列ξ₁，ξ₂，……，ξ_n中的每一个ξ_i值究竟是1还是-1，但是我们可以预测n足够大时，ξ_i=1出现的次数n_H与总次数n之比趋于概率p=0.5，也就是说，n足够大时，记录结果ξ₁，ξ₂，……，ξ_n会呈现出正面（ξ_i=1）、反面（ξ_i=-1）各一半的统计分布规律。

但是，《随机过程》教科书在使用连续抛硬币记录结果ξ₁，ξ₂，……，ξ_n来定义随机游走和布朗运动时，却使用描述随机序列ξ₁，ξ₂，……，ξ_n集体行为的概率p和q来刻画每个序列值ξ_i出现1和-1的个体行为，并假设

P(ξ_i =1)=p=0.5

P(ξ_i =-1)=q=0.5

这表示《随机过程》教科书认为每个序列值ξ_i都具有相同的统计规律，与随机现象中个别试验结果呈现不确定性的经验事实完全不符。

根据概率的统计定义，概率p和q是指在连续抛硬币试验次数n足够大时，整个随机序列ξ₁，ξ₂，……，ξ_n会出现50%的序列值等于1，50%的序列值等于-1的统计规律，而不是指具体某个序列值ξ_i出现1和-1的可能性大小。

若将概率p=q=0.5用于描述每一次的抛硬币结果ξ_i，则意味着每次抛出硬币后，硬币都会一分为二，出现半个硬币正面向上和半个硬币反面向上的荒谬结果。

图1 《随机过程》一次抛硬币结果

事实上，在抛硬币试验次数n=1时，硬币正、反面出现的频率在0和1两个值之间随机跳变，不存在频率的稳定值，因此，n=1时的概率根本不存在。

假设n次连续抛硬币试验结果中正面向上的次数为n_H，反面向上的次数为n_T，则随机序列ξ₁，ξ₂，……，ξ_n的数学期望为

可以看出，硬币正、反面出现的概率p和q实质上反映了随机序列ξ₁，ξ₂，……，ξ_n算数平均值的大小，也就是随机序列值ξ₁，ξ₂，……，ξ_n分布的中心位置。

在物理学中，温度是用来度量分子集体热运动平均动能的统计参数，我们不可能用温度来刻画一个分子的动能。在日常生活中，我们也不可能把国家统计局发布的全国平均工资当作我们每个人的实际工资收入。

《随机过程》教科书对概率概念的内涵和外延不加界定，使用描述整个随机序列ξ₁，ξ₂，……，ξ_n集体行为的概率p和q来刻画每个序列值ξ_i的个体行为，并构建出了随机游走、布朗运动和泊松跳跃等随机过程，导致《随机过程》教科书中出现了一系列与经验事实不符和逻辑上不能自洽等反常问题。

《随机过程》随机游走理论中的两个反常问题

  《随机过程》布朗运动理论中的两个反常问题