放假了。终于可以安安静静坐下来，开始雕塑这两位本科生的探索结果。希望最终把这个结果打造成为这个领域的不朽之作。

本科生们很可能把一个弯曲曲面(也就是弯曲空间)量子化过程中的一个极为困难的问题，推进了一大步! 就像把哥德巴赫猜想推进到了1+2。而之前最好的工作，还在A+B+C，而这里的A，B，C还有两位数。

———DeWitt困难及其变形———

关于弯曲曲面量子化，有一个著名的困难。不妨称为DeWitt困难。对这个困难的初步认识形成于1952-1957年间，以1957年DeWitt的Rev. Mod. Phys.论文为标志。这个问题的表述为，对一个弯曲曲面(空间)上的粒子运动进行量子化，哈密顿量会出现一个正比于标量曲率的项，而比例系数无法确定。DeWitt的做法局限于黎曼几何。黎曼几何是内禀几何，只定义标量曲率，无法定义外部曲率。

1971年开始，DeWitt困难尖锐化并发生了变形。Jenson和Koppe研究二维曲面上的粒子运动。不过不在曲面上，而是在先把这个曲面设想为一个带有均匀厚度的壳层，然后让厚度趋于零。结果发现，这个多出来的能量项，不仅仅依赖于标量曲率，还依赖于外曲率。不仅如此，这两个依赖系数可以完全确定下来。多出来的能量后来称之为几何势能。1981年，da Costa把Jenson和Koppe的结果严格化，并推广到任意维空间中的曲面上的粒子运动的量子力学。

1990年前一直到2000年，物理学家再次集中火力猛攻如何直接在曲面上研究粒子运动的量子力学，结果发现DeWitt困难真是晚期的癌症，任何的治疗方案都是以缩短寿命或者降低生活质量为代价，举凡几何量子化，Jackiw-Faddeev量子化方案等等。唯一可以值得一提的进展是，也许应该换一种角度来看待这个问题：实空间中的曲面方程$f(x)=0$变成相空间中的曲面方程$df(x)/dt=0$，倒可以获得希望的几何势能。

2010年，由于低维科学和技术的长足发展，几何势能获得实验检验。

2011年，提出几何动量。2015年，德国科学家把这个概念应用到表面等离子体的研究中。

关于曲面上粒子运动的量子化问题，参见stackexchange一个短评：quantum-mechanics-on-a-manifold

———我给本科生布置的科研任务———

2016年的春节，我给本科生讲解了DeWitt困难及其变形。没有希望学生解决这个问题，更多地是想让学生知道这里有这个大问题。胃口吊得越高，欲望可能就会越强。而强烈的欲望，就可以刺激出探索欲。在探索的过程中，至少可以获得一些手段，提高道行和修养，或可窥探到一些大悟大彻的门径。

当然，我也不会让学生空手而归。作为一位老司机，我总会有一些较为成熟的想法，可以在这个问题上做点小文章。后来，我把开题报告的一部分总结成为论文卖掉了。参见：

Q.H. Liu, J. Zhang, D.K. Lian, L.D. Huand Z. Li

Generalized centripetal force law andquantization of motion constrained on 2D surfaces

Journal: Physica E: Low-dimensionalSystems and Nanostructures, 2016

DOI: 10.1016/j.physe.2016.11.029

———学生做出的重大突破何在?———

我给出的几何动量$\Pi=p-I \hbar m$，这个动量看上去很像有电磁场的机械动量$\Pi=p-qA$，其中$p$为正则动量。但是，既然量子力学不引入机械角动量$X=r*\Pi$! 也就没有必要引入几何角动量$G=r*\Pi$!了。

量子力学中仅仅只有正则角动量$L=r*p$，而且，量子化本质上都是正则量子化。这里似乎没有任何物理的原则的限制，而是结构上美学价值的驱使! 例如说，任意维空间中的正则角动量的分量，将构成$SO(N)$代数。反过来，如果去试试机械角动量$X=r*\Pi$，无非得到一些平庸的对易关系。值得一提的是，当年第一次接触到机械动量$\Pi=p-qA$，知道存在电磁场时速度算符分量间的不对易，的确有些吃惊。

DeWitt困难实在太缠手! 而按我的套路走，基本上又是体力活，不为学生所喜。于是，我建议他们玩各种事情，例如，建议过他去试试几何角动量。反正少年血气方刚，精力过剩，着眼于练练身手，不比期待有什么立竿见影的大成果。我建议学生玩的东西多而杂，总之并不期待能出任何新的物理。

但是，这一次，我错了! 曲面上的量子力学本身就是一个“邪恶”体系，正常手段根本对付不了。几何角动量在正常的量子力学中意义不大，但是不能预期在这个“邪恶”体系中是否意义也不大。以毒攻毒？

学生仔细分析了DeWitt困难在曲面上的表现，然后他们成为“那个沿着小径走去、额头触天的仆童。”绕过几道弯弯，居然从曲面方程 $f(x)=0$ 出发，“路途艰涩。小山冈染木覆荫。空气凝滞。鸟群和水源竟如此之远! 前行，只可能是世界的尽头。”而在世界的尽头，他们生生地逮到了几何势能!

———我任务的艰巨性何在?———

这是一个物理学界从来就没有预期到的结果。由于这位本科生的工作，物理学界对这个问题的研究方向必须拐弯。如何能利用一篇不长的论文中，说服这个领域内的大玩家们?

希望接下来故事不复杂，一两篇博文就可以结束，而不至于成为一个博文系列！