是真的吗？量子测量中，当测量位置时，将得到位置算符的本征值中的一个?

第一部分：远山书缘

         寒假前后，新获一些赠书。有两本是高教社的样书；有三本分别获赠于中山大学李志兵兄，北京大学刘玉鑫兄及中科大的张永德先生；等等。

志兵兄赠此书时说明了一条特别的理由：关洪先生生前多次提到和我有忘年之谊，故先生文集编辑出版后，一定要送我一本。关先生面前，我享有知遇之荣。二十多年，他把我引荐给量子力学研究会。研究会历任的理事长原来是北师大的喀兴林先生，后来是张永德先生，现在是潘建伟兄。中山大学物理学院的同仁们，在关先生早逝之后，花了很多功夫收集先生文字，编辑了一本近80万字的文集。能知先生者，必为芳心人。感觉最深处不是志兵等诸兄的辛苦，不是对先生的追念，而是诸兄对先生思想的自我映照。不过，个别影响很大的文章没有收入文集中。先生曾在《中国图书商报》2006年2月17日发表文章“一部浮夸的科学家传记——评刘海军《束星北档案》”，如黄钟大吕，鼓荡人心。未予录入，是为一憾。

玉鑫兄半师也。我在理论所读博的时候，他是博后，故为半师。以前曾就热物理中的一两个问题有过浅易接触。新书到后，尚未深度学习，不敢贸然评论。翻阅到p.145，读“内能——热力学系统的内部能量”一节，深感亲切。热物理学领域的一些人士，恐尚有知内能却不知有外能者，也未解结合能是否为内能的一种者，兄台此节中有清晰说明。

张先生的著作在邮局睡了一个多月，寒假前的书等到新学期才到手里。春江浩荡时，捧读新版，别有所悟。念及张先生极其推崇彭加勒的关于几何的两个命题：“几何点其实时人们的幻想”，“几何学是不真实的，但是有用。”忍不住提出一个问题：当测量位置的时候，将得到位置算符的一个本征值吗? 放心，十万个放心！尽管几乎所有的量子力学教科书都认为答案是肯定的，但是在物理的测量中，不可能得到位置算符的一个本征值。

真的吗?

第二部分：真的,不可能得到位置算符的一个本征值

量子力学的测量假设是：在一个量子态上测量一个力学量时，单次测量将得到这个力学量的本征值中的一个。

用Stern-Gerlach仪器测量电子自旋为例，可以把S-G仪器串联起来，先测z方向的分量，然后测x方向的分量，最后再测z方向的分量等等。这个量子测量，不仅在理论上成立，物理上也完全无误。

以一维谐振子为例。设计一个类似S-G仪器串：先测量能量，第二步测量位置，第三步再测量能量，看看有何奇妙。

第一步，测量能量，单次测量将得到能量的一个本征值 $(n+1/2)\hbar \omega$ ，状态将塌缩到相应的本征态 $\psi_n (x)$ 上。

第二步，选出中 $\psi_n (x)" style="font-family:$ 的基态 $\psi_0(x)" style="font-family:宋体;$ ，然后试图测量位置。由于量子力学的假设认为，单次测量也将得到位置算符的一个本征值， $\psi_0(x)" style="text-indent:32px;font-family:宋体;$ 也将塌缩到相应的本征态 $\delta(x-x')$ 上。设其中的一个本征值是 $x'=0$ ，相应的态是$\delta(x)$。

第三步，在$\delta(x)$上测量能量，问能量几何? 当然，单次测量依然将得到能量的一个本征值。不过，如果问在“真实的物理仪器”上的读数将是多少? 也就是问能量的期待值几何。结果是无限大！推导如下。

将$\delta(x)$用能量本征函数展开，展开系数为$\psi_{n}(0)$，能量的期待值发散！将该和式中的每一项所构成一个级数，该级数发散，发散的速度和 $ e^n $ 相当。

物理上没有无限大，也没有无限小。这里的发散一定有某种荒唐之处。

答案如下。

这是理论的假设，不是物理的真实。

在量子测量中，当测量位置时，如果将得到算符的一个本征值，就需要精确到一个几何点上，这个时候，用尽洪荒之能量都是不够了。也就是说，物理上的位置测量，只能确定到一个区间之内。而这个区间的宽度大小，取决于实验仪器将能量瞬间传给粒子的能力！注意，这里的瞬间，又只能取相对较短的时间，并非数学的瞬间。

三，量子测量的里里外外

在量子力学中，Schrodinger方程是基本方程。可是，当写下Schrodinger方程时，物理的表达其实就有了局限。这是形式推演逻辑的固有缺陷。只有通过物理，才能不会被Schrodinger方程等数学所误导。

为了避免被误导，Landau和Lifshitz的《量子力学(非相对论理论)》(第3版)，论及“Schrodinger方程的基本性质”时，有一个神秘的脚注：“However, it must be mentioned that, for some particular mathematical forms of the functionU(x, y, z) (which have no physical significance), a discrete set of values may be absent from the otherwise continuous spectrum.”(p.53) 字面上的意思说：对于一些势能函数，能在连续谱中会有一些缺级，而这些缺级的个数是有限的。如果看固体的能带，会发现能带，而能带的个数是无限的。不过Landau和Lifshitz的意思更在于：如果常常着眼于求解Schrodinger方程，会得到一些新奇的解。这些解，止于数学，毫无物理。

一个具体例子。关于Berry相位初学者常有一个误解。既然Berry相位必须通过Schrodinger方程求得，Berry相位至少和动力学有本质联系。其实，这里的Schrodinger方程不过是一个照妖镜，可以方便显露出Berry相位而已。Berry相位本身，完全是几何相位，和动力学一点关系也没有。

陈词滥调一回：数学是用来把物理的结果，以定量的方式呈现出来的一种工具。

四，量子物理的空与色

物理何在? “烟笼新绿眼难见，月盈暗香鼻未闻”(林逋)。

如果追求极端的抽象，就会迷失于玄学；如果追求极端的实验，就会局限于唯象。物理学就是抽象和实验的中间的秋千，荡出一个高斯分布。有的时候，抽象会推动物理学，例如Dirac的电子理论；而有的时候，实验也会推动物理学，例如高温超导的发现。实验学家会认为，实验是推动物理的第一推动力，而理论家会认为，理论才是推动物理的第一推动力。

最高明的物理学家，会发现极端的抽象和极端的实验其实无缝相连。在他们的心中，无所谓内，也无所谓外；无所谓动，也无所谓静；无所谓空，也无所谓色。

普天之下，莫非物理。