近日，“全国物理基础课程教育研讨会“微信群有老师问道，复旦大学钟万蘅老师课题组曾经研究过少数经典自由粒子的分布函数问题并发表了系列论文，问有无老师记得文章的结论。尽管教科书中不太讨论少数经典自由粒子的分布函数这一问题，对于研究人员来说，这个问题有两个清晰的结论：1，一般而言，由于少粒子系统有所谓的系综不等价性，不同的物理条件下，分布函数不同；2，最简单的情况是，保持系统和一个热库接触，一个自由分子系统的分布函数和大量分子的分布函数形式相同。但是，群里几乎没有老师熟悉钟老师课题组的工作，也不熟悉上面的两个结论。很抱歉我也不熟悉，不清楚他们的研究是否支持这两个结论。于是，我把他们在《大学物理》上发表的四篇文章读了一遍，发现完全支持这两个结论。除此之外，文章内容丰富，结果很有启发性，可以作为我国教学研究论文的代表性工作。可惜的是，不可多得的好文章却几乎没有流量且无人引用，十分可惜。钟老师课题组在发表了第一、二篇论文之后，在《物理与工程》上发表了一个简短的综述。特建议《物理与工程》公众号刊发这五篇文章。

他们研究的是统计物理中的一个基础性问题，称之为硬球系统。对这种系统，对同一个量(例如位置、动量、能量)的分布函数，有两种统计，一个来自于力学统计(主要来自分子动力学模拟，体现为数值结果)，一个来自统计物理。问题是，这两个统计的结果是否一样? 研究的对象可以是自由粒子，自由粒子中有玻色子、费米子和经典粒子区别，可以是具有相互作用的系统，等等。钟老师课题组研究的是经典自由粒子系统。他们的结论是：对于孤立系中的一个经典自由粒子分布函数，力学统计和统计物理的分布函数，二者的结论是一样的。我个人认为，结论可以保守一点：至少两个分布函数的领头项一样。注意，这两个分布函数，是所谓少粒子系统的分布函数，不是通常的麦克斯韦分布。当粒子数越来越多的时候，他们的结果趋近于麦克斯韦分布。且只有对于多粒子系统，才可以定义温度。

这一问题，已经存在一个半世纪，至今依然位居统计物理的中心，是物理学中连下金蛋的一只仙鹅。属于一两句话就可以说清楚，但是非常难以理解且常研常新的极少数物理学难题。力学统计就力学结果进行数学上的统计，不在牛顿力学中引入其它的假设；但是统计物理只有一个等概率原理，要求系统具有本质上的随机性。如果统计物理中给出的分布函数和力学统计给出的分布函数一样，就意味力学系统有内在的随机性。那么，这个随机性的起源何在？钟老师课题组第一、二篇文章研究的问题，1996年才由北京师范大学郑志刚、胡岗小组解决，并获得了基本相同结论，文章参见：Zhigang Zheng, Gang Hu, and Juyuan Zhang, Phys. Rev. E, 53(1996)3246。而在教学层面进行研究，钟老师课题组是独立进行的，视角也不同，价值不言而喻。

钟老师课题组第三、四篇两篇文章研究的问题是，如果把硬球系统分成两部分，一部分作为库，一部分作为系统。两部分的粒子数都有限的时候，结果和第一二篇论文的结论类似。如果库中的粒子数无限，再问系统的粒子数对于能量的分布函数，结果就是多粒子系统的分布函数，不过粒子数取有限大小而已。而这个问题的普遍性解决，2022年才完成，论文参见：Q. H. Liu, Annals of Physics, 441(2022)168884。

把第二和第三篇论文的两个结果进行横向比较，非常具有启发性。孤立系中是否有涨落，是一个有待提炼的问题。第二篇论文给出了微正则系综少粒子系统的分布函数，也就可以对其中单个粒子的分布函数求出的能量涨落(参见《物理与工程》文章中的（10）式)；第三篇论文研究了正则系综中的单个粒子的能量涨落(参见第三篇文章（34）式且让$N_1=1$)，二者结果一样。也就是说，盯住微正则系综中的一个粒子，其行为和把其它粒子视为库的结果一样。

同一个物理对象，有两个统计，一个来自于力学统计，一个来自统计物理。这二者之间的分别和联系，直接和我们对自然界的本性的理解相关。利用少粒子系统来进行比较研究，不仅仅有其基础意义，也应用价值，还有哲学价值。因此，通过热力学和统计物理的学习和研究，不仅可以直接进入这个前沿领域，而且是进入物理学殿堂的一条捷径。

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1           李洪芳,罗胤,陈伟康,等.近独立子系系统的统计规律[J].物理与工程,2008(3):7-10.

2           彭钢,李洪芳,钟万蘅.近独立子系系统的统计规律(一)——二维系统统计规律的计算机模拟

3           李洪芳,彭钢,钟万蘅.近独立子系系统的统计规律(二)——微正则分布函数[J].大学物理,2007(5):12-14.

4           李洪芳,陈伟康,罗胤,等.近独立子系系统的统计规律(三)——正则分布函数及能量涨落公式[J].大学物理,2009,28(5):1-5，13.

5           李洪芳,罗胤,陈伟康等.近独立子系系统的统计规律(四)——巨正则分布函数[J].大学物理,2010,29(1):8-12

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为什么要大力推荐复旦大学钟万蘅老师课题组的五篇系列论文？最根本的原因是,我们长期不知道如下问题的答案。参考下图，一个粒子和一个多粒子库热接触，问这个粒子的能量分布函数。

这个问题的答案，就在近独立子系系统的统计规律(三)——正则分布函数及能量涨落公式[J].大学物理,2009,28(5):1-5，13.的(24)和(26)式中。忽略系数，这两个公式如下：

$ \rho \left( E_{1}\right) \propto \left( 1-\frac{E_{1}}{E}\right) ^{\frac{3}{2}N_{2}-1} $         (24)

$  \rho \left( \varepsilon \right) \propto \left( 1-\frac{\varepsilon }{E}\right) ^{\frac{3}{2}N_{2}-\frac{5}{2}}  $         (26)

总的粒子数$ N=N_1+N_2 $ , 总能量$ E=E_1+E_2 $ .  这两个公式适用于任意粒子数和任意能量，第(26)式中的 $  \varepsilon  $  指的是任意一个粒子的能量。如果库中的粒子数 $ N_2  \rightarrow \infty $ 即库中的粒子数很大，则$ E_2  \rightarrow 3/2 kT $ ，于是(24)和 (26)分别变成

$\rho \left( E_{1}\right) \propto e^{ -\frac{E_{1}}{kT} }$       (27)

$\rho \left( \varepsilon \right) \propto e^{-\frac{\varepsilon }{kT} }$         (28)

如果热库中的粒子数不够多， $ N_2  \rightarrow \infty $ 和 $ E_2  \rightarrow 3/2 kT $ 都不成立，就只有(24)和 (26) 式这两个结果，而无法得到 (27)和  (28)式；如果热库中的粒子数足够多即这两个条件成立之后，系统中的粒子却只有一个，即$ N_1  =1 $ 和$ E_1  = \varepsilon $ , 理想气体的Maxwell分布依然成立！这是一个相当新颖甚至具有一定革命性的结果！一般认为， 理想气体的Maxwell分布只对多粒子系统是成立！

2022年，我获得过这个结果！当时，出发点是为了解决另外一个世纪困难，走投无路的时候发现需要一种新的数学手段，即所谓的有限异步差分法。然后利用这个方法，对于经典粒子来说，获得了同样的结果；对于玻色子和费米子，也得到了类似的结果。获得这些结果，完全是由于数学的原因，即数学的精确性和系统性自发地导致这些结果。完全不知道钟万蘅老师课题组利用直接计算法加分子动力学模拟，对于经典自由粒子已经获得这些结果！很明显，直接计算法处理起来麻烦得多，即使忽略了很多细节，他们也用了四篇论文的篇幅，才获得一种自由粒子系统的结果。而利用我的有限异步差分法，就同时解决了经典和量子自由粒子的统计物理问题。

毫无疑问，物理上必须有这些结果！即使一时没有找到证明其正确性的途径，直接假设其正确性就是。这就是为什么在处理Maxwell妖的时候，我们对待一个粒子的分布函数的做法。

有限异步差分法是一种全新的数学。既然从物理学角度是合理的，就必须要有物理的原理性基础！这个基础应该是最大或者最小熵产生速度之类的原理。而这一点，是直接计算法里没有的！