回转中心在哪里？
——复信号谱分析实用之一

   我在大学所学的专业是《金属切削机床设计》，大学一毕业，就到北京机械学院机床教研室任教，因教学和科研的需要，经常到国内各个大机床厂考察和实习。此后，我从事的工作几乎都与机床有关。
   机床最核心的部件是主轴，它用来安装工件或切削工件的刀具。尤其对于精密加工，主轴的回转精度是最关键的。上世纪七十年代末，超精密加工对机床主轴回转精度的要求高达0.01μ（微米）。当时一般机床的静态回转精度约为10微米，对于微米级甚至更高的回转精度则必须采取动态测试手段。很显然，为了开发高精度机床，必须同时解决高回转精度的测试问题。
   早期的回转精度动态测试多采用标准元件检测法。例如，在主轴前端安装高精度钢球，在主轴高速旋转的状态下，用非接触式位移传感器检测精密钢球的位移信号。为此，钢球应安装得与主轴同心，钢球的夹具通常设计成可调心式，安装时用千分表边测边调中心。当被测回转精度不太高（微米级）时，此法尚可满足要求。一旦主轴的回转精度达0.1~0.01μ时，检测问题变得十分困难。
   我于1984年春曾前往日本京都大学，专程拜访桓野义昭教授，他是日本研究回转精度的权威学者之一，曾去先进的轴承厂家搜集了许多高精度钢球，得知我正致力于回转精度的研究，就好意（并不无得意）地赠送给我一颗精密钢球（直径25毫米，圆度0.05μ）。桓野先生正为东芝公司等生产的高精度机床检测主轴回转精度，手下研究人员中，仅有一名是专门调整钢球偏心的高手。但是，一旦回转精度提高到0.1μ以上，“偏心量”的调整似乎走进了死胡同。
   很显然，偏心量减小到接近回转误差的数量级时，手工调整几乎无法进行。总之，偏心量到了微米级时，调整工作则艰难无比。
   上世纪七十年代末至八十年代初，由于电脑应用的普及，检测技术从模拟方式转向数字方式成为趋势。既然偏心无法调整到足够小，怎样从回转误差的测试数据中，找出偏心量并将它剔出，便成为回转精度研究的关键问题。
   1978年，我看到国际生产工程研究会（CIRP）为回转精度问题发布的两个“统一文件”，其中规定，回转精度检测的目标应为“平均回转中心”的误差运动。问题在于，究竟什么是所谓的“平均回转中心”？该“统一文件”并未给出明确的定义。
   从事回转精度研究的学者们都知道，要确定测试数据中的偏心误差，首先必须找到回转中心的位置。然而，理论上的回转中心究竟在哪里呢？
   众所皆知，理想的回转中心是一个固定不动的点。但是，实际运转的轴有回转误差时，其横截面内所有的点都在运动着，究竟哪一点是回转中心？换一种说法，靠近轴心的每一个点都在不停地晃动着，你看，“回转中心”是其中的哪一个？
   从回转误差的静态检测方法，人们早就知道，被测元件的偏心会产生测试数据的1次谐波分量。如果将测试数据做频谱分析，并去除其中的1次谐波分量，不就很简单的剔除了偏心量吗？——且慢，轴心的（纯）误差运动中是否也含有某种1次谐波成分呢？如果也有的话，简单地除去1次谐波岂不好比，倒洗澡水连同小孩（回转误差的1次成分）一起倒掉了！？
   当时，国内有研究陀螺仪回转精度的学者，将X和Y两个方向的误差信号做频谱分析，分离出X和Y方向的两个1 次谐波。如果这两个正弦函数幅值相等且相位差90度，就正好合成一个与转轴同步的圆周运动，那么这一定就是大家所盼的偏心运动了。但是，他们实测获得的两个正弦波，幅值既不相等，相位差也不是90度。这就实际上证明：测试数据的1次谐波中，既含有偏心运动，也含有回转误差的1次成分。这样的X和Y方向的两个1次谐波合成的结果是一个椭圆（这一点，凡是熟悉电工学实验的都明白，人们历来利用X-Y示波器荧屏显示的椭圆来判定两同频交流信号的相位差）。问题只差一步便可解决，即如何从这椭圆里分离出偏心的圆周运动。结果却很令人遗憾，他们分离的结果是错误的。错误的根源就是，那时常做FFT的的学者们只知实信号的FFT，而不了解复信号的FFT。30年的时光一瞬而过，如今热衷于“全息谱”和“全矢谱”的学者们，仍踯躅于那条老路，深陷于一群椭圆阵之中。
   八十年代初期，当我领悟到傅里叶（Fourier）变换复指数展开式的几何意义后，思路豁然开朗，上述的疑问突然迎刃而解。把回转误差的X和Y两个方向的数据同时输入FFT，得到的双边频谱是频率有正有负的一组圆周运动，显然，其中的+1次分量就是千呼万唤始出来的偏心运动。若将原来回转中心的“固定不动”，更换理解为它“不随转轴同步旋转”，转轴横截面内每一点运动轨迹的+1次分量，就是它随轴同步旋转的运动。由此，就解决了“平均回转中心”的定义：“在转轴的横截面内仅有一个点，其运动轨迹的正1次频率分量为零，该点即回转中心”。如此定义的回转中心正好符合“CIRP统一文件”的规定，是平均的回转中心。这是因为，傅里叶变换的分析结果是对观测样本作平均计算所得到的。双边频谱中的-1次分量即为回转误差的1次频率成分。
   请注意，在这里，我不再提“×次谐波”，而是说“×次频率分量”。
   最近，还有某位“长江特聘”的罗教授质疑此定义：为了找到那个+1次分量为零的点，必须对“每一个物理实在的点都能始终跟踪测量其360度循环轨迹”，因此断定这是不具有“物理、工程可行性”的。
   在此，我可以明确地答复该学者的质疑。
   1、为什么说，转轴横截面内+1次频率分量为零的点是唯一的？如果有两个点的+1次频率分量为零，则很容易证明横截面内所有的点+1次频率分量皆为零，这说明此轴不旋转。
   2、根据上述回转中心的定义，为了寻找+1次频率分量为零的点，无需笨拙地检测转轴横截面内所有的点。仅仅检测任意一点的运动轨迹，求出其+1次频率分量，从该点出发，按+1次频率分量逆行，这样“逆瓜藤摸根”（而非“顺藤摸瓜”），就可“轻松”地找到理论上的回转中心。