识别二维曲线的“不变量”

——复信号谱分析实用之二

       因为本人是机械工程出身，在探讨学术问题时习惯于形象思维，而不擅长抽象的思维。在学习和运用数学时，特别关注数学公式的几何意义。每当我遇到一个新的数学方法，若找不到它几何解释，总是不自觉地对其抗拒而难以接受。因此，曾自嘲地对友人说过，我长了一个特别“机械的”脑瓜儿。

     上世纪七十年代末，我因领悟了傅里叶（Fourier）变换复指数展开式的几何意义，在回转精度研究方面取得了突破性的成果。由此我更加坚信，作为非数学专业的理工科学者，在掌握相关的数学工具时，应努力冲破纯粹的抽象思维的禁锢，探寻并理解有关数学公式的几何意义。直观的几何意义是通往物理意义的桥梁，它还会激发创造性的思维火花。从信息论的角度也能证明，图形比顺序排列的文字或公式含有丰富得多的信息量，而且，通过图形来传递信息（学习或表达）的效率也高得多。

     此后，进一步思索：复信号的双边谱怎样用在其它科技领域？

     还在上大学学习《机械原理》时，我曾参加该课的课外研究小组，辅导小组活动的老师说的一句话令我难以忘怀：“机构分析易；机构综合难。”所谓“机构综合”就是根据运动轨迹求机构尺寸，这一般无法通过解析计算来求解。因此，在电脑尚未普及应用的年代，机构综合课题尤其困难。到八十年代中，机构学领域开始了用计算机识别机构运动轨迹的研究。问题在于，如果将轨迹曲线的数据直接输给机器识别，很难找到合适的算法。从事机构综合研究的学者们探讨了各种相应的数值计算方法，但这些方法或计算量庞大，或需要繁杂的人工预处理，十分笨拙而不便于实际应用。

       我在回转精度的研究获得突破的同时，考虑到机构的运动轨迹都具有很严格的周期性，这恰好是傅里叶分析的强项。一般的机构运动轨迹多为平面周期曲线，把它作为一个复数信号输入FFT，输出一个非对称的双边频谱。亦即，平面封闭曲线经FFT转换为一系列旋转矢量。将此双边频谱作为图形的识别特征(feature)，特别适合于电脑处理。

     有了上述的初步构思，于1987年，在我的机械电子研究室作了一次关于此论题的学术报告，并将此课题交给同研究室的青年教师张J，让她做初期的研究。同时，我又征询了专门从事机构学的黄KS老师。其后，他在指导印刷机械专业的毕业设计时，让学生做了题为《递纸曲线的频谱分析》的毕业论文。

       九十年代初，日本的机构学学者渡边克己教授来华讲学，恰好由我担当翻译。在他送给我一些近期发表的论文中，见到一篇《用最小二乘法拟合进行平面多杆机构综合》。拿频谱拟合法与其相比，我提出的方法显然是先进多了。机构学原本是我不太熟悉的学科，这一发现极大地增强了我的自信，决心推广“谱分析机构综合法”。

       这一新的机构综合方法具有以下突出的优点：

    （1）、把双边频谱作为识别特征，它具有模式识别所必需的良好的拓扑性质 (topological)。某一形状的平面曲线，可能有大小的缩放、位置改变（平移、旋转或镜像翻转）、数据序列的时移等等变化。无论是哪一种坐标转换，该图形的归一化 (normalization)的双边频谱都可保持不变(invariant)。

    （2）、这种方法的运算量还可进一步大大地减少。基于复信号谱分析方法，我推导出一个重要的谱结构(spectrum stracture)定理：在作平面周期运动的同一刚体上，各点的运动轨迹具有相同的谱结构。根据此定理，机构综合时，机器计算所搜索的数据空间可减少两维。以四连杆机构为例，其搜索维数为：5-2=3 。此外，机构运动曲线的频谱中，含有大量接近零的频率分量，从而可压缩数据并减少运算量。

       总之，平面曲线的双边频谱是表征该曲线形状的“不变量”，除了机构学之外，此结论一定还能推广到其它应用领域。

参考文献：

    张华容等，《连杆运动的频谱与机构综合》，机械科学与技术，1993年6月，Vol.46,No.2