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音律之旅 精选

已有 11102 次阅读 2014-2-26 12:46 |系统分类:科普集锦| 十二平均律, 谐和, 三分损益, 五度相生律, 纯律

音律之旅

 

   带你到音律的历史长河去漂流。

   音律来自于谐和,谐和产生于共鸣,共鸣就是声波的共振

 

   我上小学时爱唱歌,非常喜欢上音乐课。每堂音乐课的开头,老师都要领着练习唱音阶。我嘴上唱着音阶,脑中却冒出一个疑问:7个音阶1do】、2re】、3mi】、4fa】、5so】、6la】和7si】之中,一般相邻的两个音相差一度,其中只有两处例外,即3mi】和4fa】、7si】和高1do】之间的音差是半度,这是为什么?

   在中学的物理课上,我得知声音高低的原理,它取决于声波振动的频率,频率较高,听到的音调也高。当数学课学到数列、等差数列、等比数列等,我便联想思索,各音阶的音高很像一个等差数列,但是它们的频率是按什么规律排列的?究竟是等差数列还是等比数列呢?高中时,我特别要好的同学郑JY家有一部留声机,我们经常在一起摆弄它,那是机械发条驱动的,速度很难维持在标准的每分钟78转,通常总是稍高或稍低于标准值。但我们发现,只要它转速稳定,不论高低,放同一张唱片就不觉得乐曲的声音跑调。这说明,即使绝对音高不准,相对音高总是不错的。根据这一事实,我们悟出:音阶的频率似乎是一个等比数列。如果它的确是等比数列,那么它的公比是多少?咱们的祖先在创造音律时,是怎样确定这个“公比”的具体数值的呢?在3mi】和4fa】、7si】和高1do】之间的频率比应该是半个“公比”吧,这又是为什么?这些问题一直伴随我度过青少年时期,始终存留心头而不得其解……

   上世纪七十年代后期,“十年浩劫”的文革刚结束,国家好似处于一个“文化复兴时期”,大学恢复招生,我作为一名工科大学教师,也生怕自己的学识跟不上时代,赶紧恶补外语、工程数学、机械动力学等科目。1978年冬,我在出差去西宁的火车上,阅读一册很薄的名为《振动测试》的书,它是一位美国工程师写的,其中讲到振动信号的谐波分析,举了一个例子:“音阶的‘5so】’是3次谐波”……万万想不到,这短短的一语恰似一颗仙丹点悟了我。我急忙拿出纸和笔,作一番简单的算术运算,当即算得:音阶相差一度的频率公比为9/8

   存留于心近二十年的音律之惑、为什么3mi】和4fa】、7si】和高1do】之间的音差是半度(古今中外皆然)的问题,至此悠然而解。尽管只用了小学算术里分数的乘法,却原来,在音乐的背后是伟大的数学在为它撑腰的!当时的我年将四十,“四十而不惑”仅仅应之于音乐的律法,我相当知足而喜不自胜啦!

 

   总的说来,音律来自于谐和,谐和产生于共鸣,共鸣就是声波的共振

   人类很早就知道,如果有两个高低不同的声音同时入耳,有的令人感到愉悦;有的却不。前者称之两音“谐和”;后者则为不谐和或曰噪声。在有了频率的概念之后,人们最先认识到,高低不同的两音若频率相差一倍最谐和。当然,早在数千年之前,人类尚未有“物理”、“频率”等系统知识,但已经知道笛子长度越短吹出的音调越高。“笛管长度”的直观概念对应于现代的“频率”,恰好有着非常密切的数学关系。对于今人,显然用频率来说明音律的原理更为直截了当。

   男女声合唱一首歌,音高相差八度听起来非常自然谐和。其中的奥妙在哪里?答案很简单,两个相差八度的音,高音的频率正好为低音的两倍。认识由此再向前发展一步,在二倍频的谐和音之后,显然最和谐的就轮到三倍频了。以此类推,第四、第五、第六……个谐和音当然分别是四倍频、五倍频、六倍频……暂且打住吧,如此类推来寻找谐和音未免太粗糙了!谁都知道,常人嗓音的音域并非很宽,只能唱出很少的几个相差八度的音。而且,仅用整数倍频的谐音,构造出来的音乐未免太单调了吧!?

   以下,我们不妨模仿先人的思路,追寻一下那创造音律的旅程。

 

   1)、我们从频率为F的基本音1do】出发向上,在高八度和谐音(频率为2F)之后再向上,先找到三倍频3F的谐音——高5so】。

   2)、回头向下,寻找高5so】的最谐和音,那就是比它低八度的5so】,频率则减半为3F/2  在此处,在一个八度音程之内,生成了一个最重要的谐音,它与基本音1do】的频率之比为3/2,是最简约的分数倍频,现代音乐术语称之“五度和弦”。

   (拉过二胡的人都知道,二胡的高低两根弦正好是五度和弦。1do】→5so】、5so】→高2re】、2re】→6la】、6la】→高3mi】、3mi】→7si】以及4fa】→高1do】这六对谐音都是五度和弦,按此顺序串成链条。我们“摸索”着这个“五度和弦的链条”,就能逐个地寻找出五律和七律的各音。)

   3)、从5so】向上,寻找它的五度谐音,必须将它的频率3F/2再乘以3/2,从而得到一个频率为9F/42re】。

   4)、回头向下,寻找2re】的最谐和音,那就是比它低八度的2re】,频率则减半为9F/8。到这里,我们获得了一度音程的频率比9/8

   5)、从2re】向上,寻找它的五度谐音,必须将它的频率9F/8再乘以3/2,从而得到一个频率为27F/16 6la】。

   6)、从6la】向上,寻找它的五度谐音,必须将它的频率27F/16再乘以3/2,从而得到一个频率为81F/323mi】。

   7)、回头向下,寻找3mi】的最谐和音,那就是比它低八度的3mi】,频率则减半为81F/64

   到目前为止,我们已在一个八度音程之内,共搜寻到5个谐音,它们就是中国古代音律的“五律”:宫、商、角、徵、羽。按从低到高顺序将其排列如下。

 

    音阶1do  2re  3mi  5so 6la   1do

    频率 F       9F/8     81F/64   3F/2    27F/16     2F

  频率比   9/8       9/8       32/27    9/8      32/27

 古音五律                                  

 

   观察这5个音阶相邻两音的频率比可得知,仅在1do】、2re】、3mi】,以及5so】、6la】之间具有相同的频率比(9/8)。而3mi】与5so】、6la】与1do】之间的间隔却比较大(32/27)。看来仍须继续努力,在这两个间隔里分别再填入两个谐音,使得音乐更丰富多彩一些。但是这32/27的空当大约仅为9/81.5次方,再挤进去两个音的结果如何呢?请看最后两步:

 

   8)、从3mi】向上,寻找它的五度谐音,必须将它的频率81F/64再乘以3/2,从而得到一个频率为243F/128 7si】。

   9)、从1do】向下,反向寻找它的五度谐音,须将它的频率2F除以3/2(或乘以2/3),最终得到频率为4F/34fa】。

 

   我在从西安去西宁的旅途中,就是按照上述的9个步骤,推算出“七律”音阶的频率。盯着这张小纸片上涂鸦的一串数字,按捺不住喜悦之情,恨不能跳起来手舞足蹈一番……紧接着,内心有个声音提醒我且莫高兴得太早,如此拍拍脑瓜计算的结果究竟对不对呢?

   出差一回到家,便急不可耐地查阅有关“资料”。说来也相当可怜,我当时在学校图书馆所查到的“资料”,与古代音律有关的,仅有一部1979年版的《辞海》。

   首先查到的条目是“五律”、“七律”、“三分损益法”、“隔八相生法”等。这些有关古代音律的最早文字记述出于春秋时期的《管子》。

   我国的古人在早期,是用笛管的长度来研究音律的,想必那时并无物理学和频率的概念。由现代力学的振动方程可知,在一个简单的发声系统里,管长(或弦长)恰好与其自振频率成反比。

   所谓“三分损益法”就是把笛管长度减短(或增长)三分之一,向上(或向下)求得原音的五度谐音。它对应于上述确定音阶9步的(1)、(3)、(5)、(6)、(8)、(9)。所谓“隔八相生法”就是把笛管长度减半(或增倍),向上(或向下)求得原音的八度谐音。它对应于上述9步的(2)、(4)、(7)。

   老子曰:“道生一,一生二,二生三,三生万物。”原先我觉得这句道家的名言很难理解,现在把这句话用来解释音律的产生却很贴切。“隔八相生”即“一生二”,“三分损益”即“三生万物”。好一个“三生万物”!这“三”的确给我们“生”出了悦耳动听而千变万化的音乐!

 

   《辞海》里还有一个有关音律的条目——“十二平均律”。它产生的基础是,古音律的一个八度音程恰巧包含了12个半音,它们的频率又恰巧近似地排列成等比数列。平均律始创于明朝的朱载堉。似乎那时的律算学者已经掌握了频率的概念,朱载堉把一个八度音程之间进行十二等分,亦即在二倍频程之间排列了12项等比数列,其公比为212次方(1.06)。这样做的优点在于,任意变调后各音的位置稳定不变。但它也为此牺牲了一点点音乐的谐和性。

   现代的键盘类和管类乐器皆按十二平均律来定音;而靠演奏者的手耳来定音的弦乐器则往往符合于古音律。

   在此顺便指出,现代工业标准里有一个“标准数系”,它包含了许多等比数列,所规定的标准公比1.061.121.261.411.58等。十二平均律的半度和一度谐音的频率比即1.061.12。谁又曾想到,音律与现代工业标准之间隐藏着一个数字的交集呢!?

 

   到了八十年代中期,一次偶然的机会,我听说了古希腊有个“毕达哥拉斯算法”与音律的创立有关,根据此信息,才查到了所谓“纯律”的条目。上述9步所推出的七律由 123次谐波构成。与其相比,纯律里仅有两个音(3mi】和7si】)不同。纯率引进了5次谐波,由5倍频5F降低两个八度,获得频率5F/43mi】,再向上求得3mi】的五度谐音7si】(频率为15F/8)。真是极为巧合的殊途同归,两个律法求得的3mi】和7si】的频率虽不相等,却也相当接近。

   迄今,能查到的文字记载中,都没有提到我国古代的七律中含有5次谐波。为区别于“纯律”,由三分损益法创制的七律称之为“五度相生律”。按简谐规则来说,“五度相生律”的谐和性似乎稍逊于“纯律”。

 

   三种音律七音阶的频率对比如下:

 

     音名 c        d       e        f         g         a         b

     唱名1do  2re  3mi  4fa   5so   6la    7si

五度相生律F        9F/8     81F/64   4F/3      3F/2    27F/16     243F/128

     纯律F        9F/8      5F/4    4F/3      3F/2     27F/16     15F/8

十二平均律F       1.122F    1.260F   1.335F   1.498F    1.682F     1.888F

 

   到此,我的音律之旅已似乎接近终点,但我还留有一个疑问:无论声音的强弱与高低(分别对应于声波的幅值和频率),人耳的听觉等级都是按对数坐标建立的。声强用“分贝”,而声高用“音分”(以十二平均律的基础,将八度音程等分为1200音分)。这是为什么?除听觉之外,其他感觉也都按对数坐标来分等级吗?

 

                                         HR 写于 2014224




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