音律之旅

■    带你到音律的历史长河去漂流。

■    音律来自于谐和，谐和产生于共鸣，共鸣就是声波的共振。

   我上小学时爱唱歌，非常喜欢上音乐课。每堂音乐课的开头，老师都要领着练习唱音阶。我嘴上唱着音阶，脑中却冒出一个疑问：7个音阶1【do】、2【re】、3【mi】、4【fa】、5【so】、6【la】和7【si】之中，一般相邻的两个音相差一度，其中只有两处例外，即3【mi】和4【fa】、7【si】和高1【do】之间的音差是半度，这是为什么？

   在中学的物理课上，我得知声音高低的原理，它取决于声波振动的频率，频率较高，听到的音调也高。当数学课学到数列、等差数列、等比数列等，我便联想思索，各音阶的音高很像一个等差数列，但是它们的频率是按什么规律排列的？究竟是等差数列还是等比数列呢？高中时，我特别要好的同学郑JY家有一部留声机，我们经常在一起摆弄它，那是机械发条驱动的，速度很难维持在标准的每分钟78转，通常总是稍高或稍低于标准值。但我们发现，只要它转速稳定，不论高低，放同一张唱片就不觉得乐曲的声音跑调。这说明，即使绝对音高不准，相对音高总是不错的。根据这一事实，我们悟出：音阶的频率似乎是一个等比数列。如果它的确是等比数列，那么它的公比是多少？咱们的祖先在创造音律时，是怎样确定这个“公比”的具体数值的呢？在3【mi】和4【fa】、7【si】和高1【do】之间的频率比应该是半个“公比”吧，这又是为什么？这些问题一直伴随我度过青少年时期，始终存留心头而不得其解……

   上世纪七十年代后期，“十年浩劫”的文革刚结束，国家好似处于一个“文化复兴时期”，大学恢复招生，我作为一名工科大学教师，也生怕自己的学识跟不上时代，赶紧恶补外语、工程数学、机械动力学等科目。1978年冬，我在出差去西宁的火车上，阅读一册很薄的名为《振动测试》的书，它是一位美国工程师写的，其中讲到振动信号的谐波分析，举了一个例子：“音阶的‘5【so】’是3次谐波”……万万想不到，这短短的一语恰似一颗仙丹点悟了我。我急忙拿出纸和笔，作一番简单的算术运算，当即算得：音阶相差一度的频率公比为9/8。

   存留于心近二十年的音律之惑、为什么3【mi】和4【fa】、7【si】和高1【do】之间的音差是半度（古今中外皆然）的问题，至此悠然而解。尽管只用了小学算术里分数的乘法，却原来，在音乐的背后是伟大的数学在为它撑腰的！当时的我年将四十，“四十而不惑”仅仅应之于音乐的律法，我相当知足而喜不自胜啦！

   总的说来，音律来自于谐和，谐和产生于共鸣，共鸣就是声波的共振。

   人类很早就知道，如果有两个高低不同的声音同时入耳，有的令人感到愉悦；有的却不。前者称之两音“谐和”；后者则为不谐和或曰噪声。在有了频率的概念之后，人们最先认识到，高低不同的两音若频率相差一倍最谐和。当然，早在数千年之前，人类尚未有“物理”、“频率”等系统知识，但已经知道笛子长度越短吹出的音调越高。“笛管长度”的直观概念对应于现代的“频率”，恰好有着非常密切的数学关系。对于今人，显然用频率来说明音律的原理更为直截了当。

   男女声合唱一首歌，音高相差八度听起来非常自然谐和。其中的奥妙在哪里？答案很简单，两个相差八度的音，高音的频率正好为低音的两倍。认识由此再向前发展一步，在二倍频的谐和音之后，显然最和谐的就轮到三倍频了。以此类推，第四、第五、第六……个谐和音当然分别是四倍频、五倍频、六倍频……暂且打住吧，如此类推来寻找谐和音未免太粗糙了！谁都知道，常人嗓音的音域并非很宽，只能唱出很少的几个相差八度的音。而且，仅用整数倍频的谐音，构造出来的音乐未免太单调了吧！？

   以下，我们不妨模仿先人的思路，追寻一下那创造音律的旅程。

   （1）、我们从频率为F的基本音1【do】出发向上，在高八度和谐音（频率为2F）之后再向上，先找到三倍频3F的谐音——高5【so】。

   （2）、回头向下，寻找高5【so】的最谐和音，那就是比它低八度的5【so】，频率则减半为3F/2。  在此处，在一个八度音程之内，生成了一个最重要的谐音，它与基本音1【do】的频率之比为3/2，是最简约的分数倍频，现代音乐术语称之“五度和弦”。

   （拉过二胡的人都知道，二胡的高低两根弦正好是五度和弦。1【do】→5【so】、5【so】→高2【re】、2【re】→6【la】、6【la】→高3【mi】、3【mi】→7【si】以及4【fa】→高1【do】这六对谐音都是五度和弦，按此顺序串成链条。我们“摸索”着这个“五度和弦的链条”，就能逐个地寻找出五律和七律的各音。）

   （3）、从5【so】向上，寻找它的五度谐音，必须将它的频率3F/2再乘以3/2，从而得到一个频率为9F/4的高2【re】。

   （4）、回头向下，寻找高2【re】的最谐和音，那就是比它低八度的2【re】，频率则减半为9F/8。到这里，我们获得了一度音程的频率比9/8。

   （5）、从2【re】向上，寻找它的五度谐音，必须将它的频率9F/8再乘以3/2，从而得到一个频率为27F/16的 6【la】。

   （6）、从6【la】向上，寻找它的五度谐音，必须将它的频率27F/16再乘以3/2，从而得到一个频率为81F/32的高3【mi】。

   （7）、回头向下，寻找高3【mi】的最谐和音，那就是比它低八度的3【mi】，频率则减半为81F/64。

   到目前为止，我们已在一个八度音程之内，共搜寻到5个谐音，它们就是中国古代音律的“五律”：宫、商、角、徵、羽。按从低到高顺序将其排列如下。

    音阶：1【do】  2【re】  3【mi】  5【so】 6【la】   高1【do】

    频率： F       9F/8     81F/64   3F/2    27F/16     2F

  频率比：   9/8       9/8       32/27    9/8      32/27

 古音五律：宫       商       角        徵       羽        宫

   观察这5个音阶相邻两音的频率比可得知，仅在1【do】、2【re】、3【mi】，以及5【so】、6【la】之间具有相同的频率比（9/8）。而3【mi】与5【so】、6【la】与高1【do】之间的间隔却比较大（32/27）。看来仍须继续努力，在这两个间隔里分别再填入两个谐音，使得音乐更丰富多彩一些。但是这32/27的空当大约仅为9/8的1.5次方，再挤进去两个音的结果如何呢？请看最后两步：

   （8）、从3【mi】向上，寻找它的五度谐音，必须将它的频率81F/64再乘以3/2，从而得到一个频率为243F/128的 7【si】。

   （9）、从高1【do】向下，反向寻找它的五度谐音，须将它的频率2F除以3/2（或乘以2/3），最终得到频率为4F/3的4【fa】。

   我在从西安去西宁的旅途中，就是按照上述的9个步骤，推算出“七律”音阶的频率。盯着这张小纸片上涂鸦的一串数字，按捺不住喜悦之情，恨不能跳起来手舞足蹈一番……紧接着，内心有个声音提醒我且莫高兴得太早，如此拍拍脑瓜计算的结果究竟对不对呢？

   出差一回到家，便急不可耐地查阅有关“资料”。说来也相当可怜，我当时在学校图书馆所查到的“资料”，与古代音律有关的，仅有一部1979年版的《辞海》。

   首先查到的条目是“五律”、“七律”、“三分损益法”、“隔八相生法”等。这些有关古代音律的最早文字记述出于春秋时期的《管子》。

   我国的古人在早期，是用笛管的长度来研究音律的，想必那时并无物理学和频率的概念。由现代力学的振动方程可知，在一个简单的发声系统里，管长（或弦长）恰好与其自振频率成反比。

   所谓“三分损益法”就是把笛管长度减短（或增长）三分之一，向上（或向下）求得原音的五度谐音。它对应于上述确定音阶9步的（1）、（3）、（5）、（6）、（8）、（9）。所谓“隔八相生法”就是把笛管长度减半（或增倍），向上（或向下）求得原音的八度谐音。它对应于上述9步的（2）、（4）、（7）。

   老子曰：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”原先我觉得这句道家的名言很难理解，现在把这句话用来解释音律的产生却很贴切。“隔八相生”即“一生二”，“三分损益”即“三生万物”。好一个“三生万物”！这“三”的确给我们“生”出了悦耳动听而千变万化的音乐！

   《辞海》里还有一个有关音律的条目——“十二平均律”。它产生的基础是，古音律的一个八度音程恰巧包含了12个半音，它们的频率又恰巧近似地排列成等比数列。平均律始创于明朝的朱载堉。似乎那时的律算学者已经掌握了频率的概念，朱载堉把一个八度音程之间进行十二等分，亦即在二倍频程之间排列了12项等比数列，其公比为2开12次方（≈1.06）。这样做的优点在于，任意变调后各音的位置稳定不变。但它也为此牺牲了一点点音乐的谐和性。

   现代的键盘类和管类乐器皆按十二平均律来定音；而靠演奏者的手耳来定音的弦乐器则往往符合于古音律。

   在此顺便指出，现代工业标准里有一个“标准数系”，它包含了许多等比数列，所规定的标准公比有1.06、1.12、1.26、1.41、1.58等。十二平均律的半度和一度谐音的频率比即1.06和1.12。谁又曾想到，音律与现代工业标准之间隐藏着一个数字的交集呢！？

   到了八十年代中期，一次偶然的机会，我听说了古希腊有个“毕达哥拉斯算法”与音律的创立有关，根据此信息，才查到了所谓“纯律”的条目。上述9步所推出的七律由 1、2、3次谐波构成。与其相比，纯律里仅有两个音（3【mi】和7【si】）不同。纯率引进了5次谐波，由5倍频5F降低两个八度，获得频率5F/4的3【mi】，再向上求得3【mi】的五度谐音7【si】（频率为15F/8）。真是极为巧合的殊途同归，两个律法求得的3【mi】和7【si】的频率虽不相等，却也相当接近。

   迄今，能查到的文字记载中，都没有提到我国古代的七律中含有5次谐波。为区别于“纯律”，由三分损益法创制的七律称之为“五度相生律”。按简谐规则来说，“五度相生律”的谐和性似乎稍逊于“纯律”。

   三种音律七音阶的频率对比如下：

     音名： c        d       e        f         g         a         b

     唱名：1【do】  2【re】  3【mi】  4【fa】   5【so】   6【la】    7【si】

五度相生律：F        9F/8     81F/64   4F/3      3F/2    27F/16     243F/128

     纯律：F        9F/8      5F/4    4F/3      3F/2     27F/16     15F/8

十二平均律：F       1.122F    1.260F   1.335F   1.498F    1.682F     1.888F

   到此，我的音律之旅已似乎接近终点，但我还留有一个疑问：无论声音的强弱与高低（分别对应于声波的幅值和频率），人耳的听觉等级都是按对数坐标建立的。声强用“分贝”，而声高用“音分”（以十二平均律的基础，将八度音程等分为1200音分）。这是为什么？除听觉之外，其他感觉也都按对数坐标来分等级吗？

                                         HR 写于 2014年2月24日