我们从小就学会数数，1、2、3、4、5……，能数出篮子里有多少苹果，天上有多少星星。如果一个集合上的元素，我们一个一个地数，每个元素或迟或早都会数到，我们就说这个集合是可数的。有穷集合肯定是可数的，这里只讨论无穷集合的情况。

首先自然数集是可数的。实际上，我们有时把可数集定义为，能和自然数集建立一一对应的集合。

奇数集也是可数的。将它的元素从小到大排列就行了，1、3、5、9……，这样，每个奇数早晚都会出现在这个数列上。同样，偶数集也是可数的。

注意，在列出集合元素的时候可以重复，比如1、1、2、2、3、3……，只要每个元素最终都会出现就行了。

有些集合不容易判断它们是否可数。比如整数集是不是可数的？我们把哪个数放在第一呢，如果把0放在第一位，然后将它们从小到大排列：0、1、2、3、4……。负数是不会出现在这个数列上的。又比如正有理数集，是否可数呢？像数轴那样把它们从小到大排列肯定是不行的，因为没有任何一个有理数排第一位。问题是否存在其他的排列方式可以把它们按顺序数出来呢？

下面来证明关于可数集的一些结论。

1、整数集是可数的

这样排列：0，1，-1，2，-2，3，-3……

2、所有正整数有序对(m,n)组成的集合是可数的

按图中这样的顺序排列，每个有序对都出现在这个序列上。

3、正有理数集是可数的

正有理数是能表示成正整数之比的数，即m/n，m和n都是正整数。上面已经给出了所有有序对的排列方法，这里只要用m/n取代(m,n)就行了。

1/1，1/2，2/1，1/3，2/2，3/1，1/4，2/3，3/2，4/1……。在这个数列上，相同的有理数会重复出现，实际上是出现无数次。比如1/1=2/2=3/3=……，但这不影响有理数集是可数的。

4、有理数集是可数的

在上面的数列中插入负有理数就可以了。

1/1，1/2，-1/2，2/1，-2/1，1/3，-1/3，2/2，-2/2，3/1，-3/1，1/4，-1/4……

5、两个可数集的并是可数的

假设可数集A的元素这样排列：A1、A2、A3、A4、A5……

假设可数集B的元素这样排列：B1、B2、B3、B4、B5……

它们并集的元素就这样排列：A1、B1、A2、B2、A3、B3、A4、B4……