我们知道有限的集合很容易比较大小，比如含9个元素的集合比6个元素的集合元素数更多。无穷集合比有穷集合元素的个数多，比如自然数的个数比中国人的数量多。

但无穷集合之间怎样比较大小呢，自然数和平方数哪个更多？即{1，2，3，4，5……}和{1，4，9，16，25……}，哪个集合的元素多。

表面上看，肯定是自然数的个数更多，因为自然数已经包含了平方数，整体大于部分。但细想，两个集合存在一一对应的关系，每个自然数对应一个平方数，每个平方数对应一个自然数。似乎两者的个数一样多，究竟哪个答案正确呢？

这是个约定问题。可以规定自然数的个数更多，理由是整体的数量总是大于部分。这样做的缺点是在很多情况下无法比较集合的大小，比如平方数的集合和素数的集合，因为两者都是无穷集合，而两者谁也不包含谁。

也可以规定自然数的个数和平方数个数一样多。这样做的好处是任何两个集合都能比较大小（严格来说，这个结论是以接受选择公理为前提的）。但缺点是，不够直观，因为凭感觉整体的数量不可能等于部分的数量。

在我们的数学中，采取的是后一种约定：如果集合A能和集合B的元素之间存在一一对应关系，则两者一样大。如果集合A能和集合B的子集一一对应，但不能和集合B一一对应，则集合A比集合B小。

注意，两个集合之间存在一一对应的关系，不等于说集合元素之间的任意对应关系都是一一的，有时候找到这种一一对应关系需要一定的技巧。举个例子，自然数集合A和B，它们是相同的集合，显然是同样大的，A中的任一个自然数n都对应B中相同的自然数n。但如果是另一种对应关系，A中的任一自然数n对应于B中的自然数2n，则不构成一一对应关系，因为B中的奇数将不对应A中的任何数。

对于集合大小采用这种规定，并不意味着否定了整体大于部分，只是说整体的元素数量可以等于部分的元素数量，而这两个集合本身仍然是不相等的，比如平方数集合不等于自然数集合，只是它的子集。

其实“大小”只是个名字。不管具体采取哪种约定，集合元素之间的这种对应关系仍然是存在的，仍然值得研究。即使我们采取第一种规定，使得任何集合永远比它的真子集大。无穷集合仍然存在令人惊奇的性质：它和它的真子集元素之间可以存在一一对应的关系。

数学家希尔伯特曾说了无穷旅馆的故事来说明无穷的奇妙性质。有家旅馆有无穷个房间，每个房间都住满了客人。现在来了一个客人投店住宿。如果是正常的旅馆，已经住不下了。但这家无穷旅馆的老板，让1号房间的客人迁到2号房间，让2号房间的客人迁到3号房间，让3号房间的客人迁到4号房间……。这样就腾出了1号房间，让新客人住了进去。现在所有客人都有了自己的房间。你可能会问，原来住在最后一个房间的客人，无法搬到下一个房间。请注意，这是无穷旅馆，不存在最后一个房间。

不但再来一个客人能安排下，就算再来无穷个客人也可以。让原来1号房间的客人搬到2号房间，原来2号房间的客人搬到4号房间，原来3号房间的客人搬到6号房间……。这样所有奇数号房间就空出来了，又可以住下无数个新客人。

本文参考了卢昌海的《无穷集合可以比较吗？》

http://www.changhai.org/articles/science/mathematics/100000/infinity.php