[说明] 我对“P对NP”的所有研究，使用的都是现有的主流数学理论

图1  “P对NP”研究的示意图：工具、结果、进一步的观点

一、我对“P对NP”的所有研究，使用的都是现有的主流数学理论

   换言之：在研究中使用的数学工具（理论、方法等）方面，没有使用自己创造的“数学理论”、“数学公理”之类。

   其中，以

   ZF（Zermelo–Fraenkel set theory），不使用 C （Axiom of choice）。

   为基础。

   最直接的是：

   A5) Axiom of power set:

   ∀x∃z∀v(v∈z↔∀w(w∈v→w∈x)).

   This axiom asserts, for any set x, the existence of its power set, the set consisting exactly of those sets v that are subsets of x. This power set is denoted by P(x). The axioms A3)–A5) are generative axioms, providing various means of collecting sets together to form new sets. The generative process can be started with A2), an outright existence axiom.

ZFC. Encyclopedia of Mathematics. https://encyclopediaofmath.org/wiki/ZFC

   正是由于【对“P对NP”的所有研究，使用的都是现有的主流数学理论】，没有使该问题自身的研究中产生新的“数学理论”，这是我最大的憾事之一。

二、但研究的结果也引出了一些创新

   （1）完全证明：full proof。

   （2）引出了“第二类数域”：所有几何曲线可以构成新的数域，它是继有理数域、实数域之后的实质性的“新的数域”。也可记为“第2类数域”。

   （3）第二类计算机：以几何曲线为“基本计算单元”的计算机。也可记为“第2类计算机”。

图2  第二类数域（第2类数域）

https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-KJPL201104010.htm

http://www.cqvip.com/QK/87495A/201104/39096952.html

三、哲学提炼与人脑复杂性估计

3.1 信息量的复杂性分层（1999，《哲学研究》）

   作为“P对NP”的哲学思考，提炼为《人类智能模拟的“第2类数学(智能数学)”方法的哲学研究》。主要观点：

图3  信息的复杂性分层

图4  广义丘奇-图灵论题

http://www.cqvip.com/QK/80454X/199904/1002190349.html

   当打倒了《论语·卫灵公》的“工欲善其事，必先利其器。”并且打倒了《道德经》第五十四章“故以身观身，以家观家，以乡观乡，以邦观邦，以天下观天下。吾何以知天下然哉？以此。”我们的该论文的观点就同时被打倒了。

3.2 人脑的复杂性估计（1997，《百科知识》）

   人类大脑的信息量有多大？

   下图是人体的“5分树”简化模型。

图5  四肢与手脚可以灵活弯曲，总体构成“全体几何曲线”的幂集

https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-BKZS199707022.htm

   人类大脑的信息量有多大？

   考虑到人类可以有意识地灵活地支配四肢，因此人脑的信息能力不低于“全体几何曲线的幂集”，即第3类（h）。特别是人类双手的能力，几乎可以完成做出几何曲线的形状。

总之：

   （1）由于没有像 Paul Joseph Cohen 一样搞个“Forcing method”之类的新数学方法，我一直失望到今天。

   （2）尽管在研究“P对NP”自身时没有发明新的数学工具，但“P对NP”的结果进一步产出了“完全证明”、“第2类数域”、“第2类计算机”，以及“人脑的复杂性”估计，“广义丘奇-图灵论题”，也还算说得过去吧？

参考资料：

[1] Zhengling Yang (杨正瓴). A non-canonical example to support P is not equal to NP [J]. Transactions of Tianjin University, 2011, 17(6): 446-449.

10.1007/s12209-011-1593-5

https://link.springer.com/article/10.1007/s12209-011-1593-5

[2] 杨正瓴. 第二类计算机构想 [J]. 中国电子科学研究院学报, 2011, 6(4): 368-374.

https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-KJPL201104010.htm

http://www.cqvip.com/QK/87495A/201104/39096952.html

[3] 杨正瓴. 密码学与非确定型图灵机[J]. 中国电子科学研究院学报, 2008, 3(6): 558-562.

http://resource.hzlib.cn:8081/Qikan/Article/Detail?id=28856183

https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-KJPL200806001.htm

[4] 杨正瓴，林孔元. 人类智能模拟的“第2类数学（智能数学）”方法的哲学研究 [J]. 哲学研究，1999, (4): 44-50.

http://www.cqvip.com/QK/80454X/199904/1002190349.html

https://kns.cnki.net/kcms/detail/detail.aspx?dbcode=CJFD&dbname=CJFD9899&filename=ZXYJ199904005&uniplatform=NZKPT&v=U2NoQ2MkdWD_X8dTl-dM8-9uPc4sVdZtB_SlYn-0FW3XglcR1pEBprer90wK0aYx

[5] 杨正瓴. 人脑复杂性的估计及其哲学意义[M]，《中国新时期社会科学成果荟萃》，1999，第1卷p296。卢继传 主编，中国经济出版社，北京，ISBN 7 – 5017 – 4100 – X/G. 374，（第2编，哲学，第4章，自然辩证法）.

[6] 杨正瓴. 人脑有多复杂？[J]. 百科知识，1997，7（总第216期）：pp39 – 40.

https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-BKZS199707022.htm

[7] 杨正瓴. 从NP结构到超级计算机分类理论 [R]. 天津大学百年校庆研究生院研究生学术报告会（一等奖论文），和天津大学百年校庆自动化系学术报告会，1995年10月.

相关链接：

[1] 2022-06-10，[请教] P对NP（二）：结果的相对性与“1+3”种证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1342404.html

[2] 2012-03-23，[请教] P对NP：请***教授等专家指教（一）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-550859.html

[3] 2023-01-11，[简历] 昨天在某微信群里的自我介绍

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1371528.html

[4] 2016-10-03，感谢“中科院科学智慧火花”：丘奇-图灵论题（Church-Turing Thesis），可能误导了 “P vs NP” 的研究

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1006444.html

[5] 2015-12-24，感谢“中科院科学智慧火花”：某些 NPI 可能是处在相变边界的 NPC

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-945568.html

[6] 2011-09-06，My report and papers on "the P versus NP problem" (P vs NP)

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-483639.html

[7] 2010-08-13，[请教]“P vs NP Problem”为什么这么困难？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-352731.html

[8] 2011-09-15，A FULL PROOF to the P versus NP problem

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-486692.html

[9] 2015-05-22，The kernel of "P vs NP Problem": Axiom of power set!

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-892400.html

[10] 2022-07-04，[汇集，小结] 我们研究工作汇报的近期博文小结

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1345813.html

[11] 2022-06-05，[回忆] 我们的科技类代表性观点（或论文）（3）：高原创部分

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1341672.html

[12] 2023-01-15，[小资料，小科普] “世界逻辑日 World Logic Day”，联合国教育、科学及文化组织

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1372064.html

[13] 2022-02-19，[科普 + 备课] 哥德尔不完全性定理（1931年）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1326086.html

[14] 2022-03-01，[科普 + 备课] Chaitin定理（1966年）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1327564.html

[15] 2010-03-09，逻辑方法的局限性：Gödel incompleteness theorem和Chaitin theorem

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-301287.html

[16] 2022-08-04，[科普小资料，复习] 人脑的左右脑功能；思维的分类；多元智力理论

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1349942.html

[17] 2021-11-09，[杂录] 对1999年《人类智能模拟的“第2类数学……》一文的一些扼要说明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1311664.html

[18] 2022-06-06，1999《哲学研究》一文观点的“一句话”概括

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1341799.html

感谢您的指教！

感谢您指正以上任何错误！

感谢您提供更多的相关资料！