神奇的开区间数量

郝克刚

2013.08.23.

1.引言

最近看到薛问天先生的一篇解密伪证的博文^[1]，读到有关有理数集合与实数集合的“开区间”的某些数量特性时，感到很吃惊、很神奇，超出了我原来对于有理数集合与实数集合的想象。也许是我在大学里学的那点数学知识没有学够和学透，学识浅薄，孤陋寡闻才产生了这样的感觉。现在有网真是太方便了。用博客把它写出来，一方面可以同大家共享，另一方面也可以听听资深专业人士的点评。

我们都知道实数集合（包括有理数和无理数）是不可数的。但是你是否知道由实数作为端点构成的互不相交的开区间的总数却是可数的。

我们都知道有理数集合是可数的。但是你是否知道由有理数作为元素构成的不同的开区间的总数却是不可数的。

我开始接触到这两个事实时，很难接受，觉着与我原来的对实数和有理数的理解不一样。想不通既然实数不可数，怎么由它作为端点的互不相交的开区间却是可数的。总觉着你把实数一个一个摆起来，由它两两作端点的开区间应该也是不可数的。另外也想不通既然有理数可数，由它作为元素构成的一个一个的不同的开区间总觉着也应该是可数的。等慢慢地理顺了它的证明后，才开始有了理解。认识到这两有关开区间数量特性的命题确实是正确的。我之所以感到很神奇，是由于我过去对实数和有理数的直观概念有误，特别是对它们的稠密性和连续性理解不深所导致的。我参考薛文把它们简要地整理如下，和大家共享。

2.预备知识

先介绍一些基本知识。

我们称一个集合是可数的，如果它能与全体自然数集合建立一一对应。已经证明全体有理数集合是可数的，全体实数集合是不可数的。

凡是介于两个实数a,b(a<b)之间的所有实数（或有理数）的集合称为实数区间（或有理数区间）。a（或b）称为区间的左端点（或右端点）。并进一步规定若集合包含左（或右）端点，则区间称为左闭区间（或右闭区间），若不包含左（或右）端点，则区间称为左开区间（或右开区间）。既是左开区间又是右开区间的区间称为开区间。

一个有序集合S，如果满足条件：若a,b属于S，且a<b，则集合S中存在c，使a<c<b成立，就称集合S是稠密的。已知有理数集合和实数集合都是稠密的。还可以推出任何两个实数之间有可数无穷多个有理数存在，有不可数无穷多个无理数存在。

如果一个集合S的数全部大于或等于（≥）某数d，则称d是集合S的下界。最大的下界称为是S的下确界。如果一个集合S的数全部小于或等于（≤）某数u，则称u是集合S的上界。最小的上界称为是S的上确界。例如，一个区间的下（或上）确界就是区间的左（或右）端点。

已知任何有上界的实数集合一定有实数上确界。这就是所谓的实数集合的连续性（或称完备性）。但是，有上界的有理数数集合不一定存在有理数的上确界。它的上确界可能是无理数。这就是所谓的无理数集合的不连续性（或称不完备性）。

3.关于开区间数量的两个命题

命题1.实数作为端点构成的互不相交的开区间的总数是可数的。

证明。假定此命题不成立，即实数作为端点构成的互不相交的开区间的总数是不可数的。根据实数和有理数集合的稠密性，在这些不相交的每个开区间中至少有一个有理数，而且各不相等。由于开区间的总数是不可数的，那么这些各不相等的有理数的个数也是不可数的。与已知有理数集合可数相矛盾，命题1得证。

命题2. 有理数作为元素构成的所有不同的开区间的总数是不可数的。

证明。对每个实数，分别地选择一个以其作为右端点的任意开区间。显然，这样选择的开区间，互不相同，而且其个数与实数的个数相同，是不可数的。由于这样的开区间是有理数构成的所有不同的开区间的一部分。所以推出命题2，即有理数作为元素构成的所有不同的开区间的总数是不可数的。

参考文献

[1] 易057-薛问天：“实数可数”的两个有趣“证明”的解密

        http://wenqinghui163.blog.163.com/blog/static/21152537620137206241520/