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p-adic整数和p-adic数

已有 12148 次阅读 2013-4-10 22:44 |个人分类:学术交流|系统分类:科研笔记| 郝克刚, p-adic数, p-adic整数

p-adic整数和p-adic数

郝克刚2013.04.10.

本文是前面一篇文章^[2]的续篇。前文介绍了p-adic整数及其上的加法、减法和乘法运算。这些运算构成了一个可换环。即加法和乘法满足交换律、结合律和分配律，减法是加法的逆运算，存在零元和么元等。正负整数可以看作是p-adic整数的真子集。尽管p-adic整数它不构成域，但是有趣的是它可以表示部分分数，和有一定限制的除法（除数以非0结尾。）

本文进一步讨论p-adic数及其上的运算。除了它同样构成可换环外还可定义乘法的逆运算除法，从而构成一个域。另外，有理数集可以看作是p-adic数的真子集。

1.p-adic整和p-adic整数的关系

按照定义，对于任意给定的素数p，我们把用下式表达的数α称为p-adic数。

其中k是某整数(不必一定是正的，也可为负数，如k=-m)。一般地也可写为

α=……+a_npⁿ +…+a₂p² + a₁p¹ +a₀2⁰+ a-₁p^-1+a-₂p^-2+…+a_-mp^—m，通常简写为

α=……a_n…a₂ a₁ a₀_。a-₁ a-₂…a_-m

如果k=0，或者说对于所有i < 0有a_i = 0，如下式所示，则称其为p-adic整数。

p-adic整数可一般地写为

α=……+a_npⁿ +…+a₂p² + a₁p¹ +a₀ p⁰。通常简写为

α=……a_n…a₂ a₁ a₀_。

通俗一点说，p-adic数同p-adic整数相比，只不过是允许多加一个小数点和允许点后添加有穷位小数。另外，当p-adic数乘以p时。可使小数点右移一位，反之，p-adic数除以p可使小数点左移一位。p-adic数不断乘以p，当小数点右移到最右端时，就可使其变成p-adic整数。

所以说p-adic数和p-adic整数有如下关系

对任何p-adic数，当k<0时（即当它不是p-adic整数时），存在一正整数m（=-k）,使得α乘以p^m，即α’=αp^m是p-adic整数。

2.p-adic数的加、减和乘法运算

我们可以仿照p-adic整数的相应运算来定义p-adic数的加、减法和乘法运算。其实p-adic数的加、减法同p-adic整数并无本质区别，只是注意对准小数点即可。p-adic数的乘法实施后注意乘积小数点放在合适的位置。

严格地讲，可以先把p-adic数α,β分别乘以p^m变成p-adic整数（m大于或等于p-adic数α,β的小数点后位数），然后让p-adic整数αp^m,βp^m进行相加（或相减、相乘），最后将结果再还原成p-adic数（对于加减法乘以p^-m还原，对于加减法乘以p^-2m还原）。即

α±β=（αp^m±βp^m）p^-m

αхβ=（αp^mхβp^m）p^-2m

其中αp^m,βp^m是p-adic整数；±和х是p-adic整数的加减法和乘法。

可以证明p-adic数关于加法、减法和乘法运算同样也构成了一个可换环。

3.p-adic数的除法运算

我们知道所谓除法就是除数的倒数乘以被除数。而对于非0结尾的p-adic整数，我们已经知道计算它的倒数的方法。对于不等于0而以0结尾的p-adic整数，假定它刚好以m个0结尾（即a_m≠0, a_m-1=…=a₀=0）我们可以先将其乘以p^-m变成非0结尾的p-adic整数，求其倒数，然后再乘以p^-m，所得出的p-adic数就是原以0结尾的p-adic整数的倒数。这是因为1/α=(1/αp^-m) p^-m。于是对于所有不等于0的p-adic整数（不管是否以0结尾），都会求其倒数了。只不过非0结尾的p-adic整数的倒数仍然是p-adic整数，而以0结尾的p-adic整数的倒数是p-adic数，但不是p-adic整数。

现在我们来求任意不等于0的非p-adic整数的p-adic数的倒数。我们已知对任何非p-adic整数的p-adic数都存在正整数m，将其乘以p^m即可变成p-adic整数，按照对p-adic整数的方法求其倒数，再乘以p^m所得出的p-adic数就是原p-adic数的倒数。这是因为1/α=(1/αp^m) p^m。