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复信号的谱分析

已有 15527 次阅读 2010-3-16 00:01 |个人分类:未分类|系统分类:科研笔记| 傅里叶变换, FFT, 复信号, 谱分析

     谱分析技术在光学、声学、电学、力学和信息技术(声像处理、数据压缩)等科技领域里发挥着重要的作用,这是众所周知的。通常的的谱分析技术,大多建立在实函数Fourier(傅里叶)变换的数学理论基础之上,即使图像处理用到二重Fourier变换,也仅以实函数为输入。然而,经典的Fourier变换式是复指数展开公式,原本是描述复函数及其双边频谱之间的转换,变换对的双方皆为复数。常见的谱分析对象为一维的实信号,一维(实)函数是二维(复)函数的特例,它经Fourier变换所得的双边频谱是对称的。因此,古老的谱分析技术只利用了Fourier变换的单边频谱,仅使用Fourier三角级数展开式即可。人们熟知:单边谱的每一频率成分是谐波函数;但几乎不知道:双边谱的每一频率成分是旋转矢量。(参阅文后的上传插图《Fourier变换复指数展开式的几何意义》)
     上世纪八十年代初,我在对转轴的回转精度的研究中,认识到转子的径向误差是一个随时间变化的二维的复向量,其检测结果是一个二维的复信号,将该复信号的数据直接输入FFT,所获得的输出是一个非对称的双边频谱,同时弄明白了双边谱的几何意义。由此,开创了复信号谱分析的研究方向,并取得一系列的研究成果,如回转精度理论机构综合的谱分析方法极形轨迹发生器等。
   Fourier变换原本是《信号分析》学科的重要理论基础,但是,许多从事《信号分析》研究和教学的学者,至今并未全面、深入地理解堪称经典的Fourier变换。迄今,他们仍认定“复信号是实际不存在的”、双边频谱的负半边“既无几何意义,又无物理意义。甚至还把这陈旧的错误论点写进教科书。其错误的根源在于,将研究分析的信号局限于一维空间之内。
   许多理工科学者自以为掌握了处理一维、二维甚至多维空间的数学理论,但是一联系到实际,却只习惯于一维的思维和计算。为了全面理解Fourier变换,仅须把思维扩展到二维空间。
   扩展思维的空间的必要性可打个比方来说。通常的认识是:人类生活在三维空间里。曾有传说,某人在某地方突然消失得踪迹全无,很快又在数千公里之外的某地出现。还有“特异功能者”能够从密封的药瓶里取出药片(而不必开启瓶盖或打破药瓶)。研究过多维空间的学者推理说:如果这是真的,那人和药片一定是利用了第四维空间的通道。由此看来,对于三维空间的凡人来说,视野及行动都能扩展至四维空间的,简直就是神仙了!同理,假设有一只生活在一维空间的小虫,它只能在一维的实数数轴上爬来爬去,它那可怜的视力根本看不到左右两侧;另一个二维空间的虫子却能在广阔的二维复平面上自由活动。相对于一维的可怜虫,二维的小虫就是神仙。
   许多经常做FFT分析计算的人往往忘记、或根本不知,FFT程序的输入数组除了[X]之外,还有另一个[Y](尤其安装在一些大型工具软件系统里的FFT,当使用者把实信号数据输入[X]后,[Y]会自动设置为零)。国内有研究“故障诊断”的知名学者,在检测转轴xy两垂直方向的径向误差后,将两组数据分别做FFT(本来只需做一次FFT,却做了两次),再把得到的两个单边频谱合成为椭圆单边谱,并美其名曰“全息谱”或“全矢谱”。此法绕了弯路,数学推导并无错误,但是如此舍近求远的所谓创“新”却令人可叹又可笑。岂不知,Fourier老先生早就为你的xy信号预备好一个非常漂亮的双边频谱啦!
   如果把Fourier变换比喻成一个双轮的手推车,人们历来竟一直把一侧轮胎悬空,使它歪着,当作独轮车来推。如今正在使用FFT的朋友,您还当它是个独轮车吗?



Fourier变换复指数展开式的几何意义



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1 彭真明

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