谱分析技术在光学、声学、电学、力学和信息技术（声像处理、数据压缩）等科技领域里发挥着重要的作用，这是众所周知的。通常的的谱分析技术，大多建立在实函数的Fourier（傅里叶）变换的数学理论基础之上，即使图像处理用到二重Fourier变换，也仅以实函数为输入。然而，经典的Fourier变换式是复指数展开公式，原本是描述复函数及其双边频谱之间的转换，变换对的双方皆为复数。常见的谱分析对象为一维的实信号，一维（实）函数是二维（复）函数的特例，它经Fourier变换所得的双边频谱是对称的。因此，古老的谱分析技术只利用了Fourier变换的单边频谱，仅使用Fourier的三角级数展开式即可。人们熟知：单边谱的每一频率成分是谐波函数；但几乎不知道：双边谱的每一频率成分是旋转矢量。（参阅文后的上传插图《Fourier变换复指数展开式的几何意义》）
上世纪八十年代初，我在对转轴的回转精度的研究中，认识到转子的径向误差是一个随时间变化的二维的复向量，其检测结果是一个二维的复信号，将该复信号的数据直接输入FFT，所获得的输出是一个非对称的双边频谱，同时弄明白了双边谱的几何意义。由此，开创了复信号谱分析的研究方向，并取得一系列的研究成果，如回转精度理论、机构综合的谱分析方法、极形轨迹发生器等。
Fourier变换原本是《信号分析》学科的重要理论基础，但是，许多从事《信号分析》研究和教学的学者，至今并未全面、深入地理解堪称经典的Fourier变换。迄今，他们仍认定“复信号是实际不存在的”、双边频谱的负半边“既无几何意义，又无物理意义”。甚至还把这陈旧的错误论点写进教科书。其错误的根源在于，将研究分析的信号局限于一维空间之内。
许多理工科学者自以为掌握了处理一维、二维甚至多维空间的数学理论，但是一联系到实际，却只习惯于一维的思维和计算。为了全面理解Fourier变换，仅须把思维扩展到二维空间。
扩展思维的空间的必要性可打个比方来说。通常的认识是：人类生活在三维空间里。曾有传说，某人在某地方突然消失得踪迹全无，很快又在数千公里之外的某地出现。还有“特异功能者”能够从密封的药瓶里取出药片（而不必开启瓶盖或打破药瓶）。研究过多维空间的学者推理说：如果这是真的，那人和药片一定是利用了第四维空间的通道。由此看来，对于三维空间的凡人来说，视野及行动都能扩展至四维空间的，简直就是神仙了！同理，假设有一只生活在一维空间的小虫，它只能在一维的实数数轴上爬来爬去，它那可怜的视力根本看不到左右两侧；另一个二维空间的虫子却能在广阔的二维复平面上自由活动。相对于一维的可怜虫，二维的小虫就是神仙。
许多经常做FFT分析计算的人往往忘记、或根本不知，FFT程序的输入数组除了［X］之外，还有另一个［Y］（尤其安装在一些大型工具软件系统里的FFT，当使用者把实信号数据输入［X］后，［Y］会自动设置为零）。国内有研究“故障诊断”的知名学者，在检测转轴x和y两垂直方向的径向误差后，将两组数据分别做FFT（本来只需做一次FFT，却做了两次），再把得到的两个单边频谱合成为椭圆单边谱，并美其名曰“全息谱”或“全矢谱”。此法绕了弯路，数学推导并无错误，但是如此舍近求远的所谓创“新”却令人可叹又可笑。岂不知，Fourier老先生早就为你的x、y信号预备好一个非常漂亮的双边频谱啦！
如果把Fourier变换比喻成一个双轮的手推车，人们历来竟一直把一侧轮胎悬空，使它歪着，当作独轮车来推。如今正在使用FFT的朋友，您还当它是个独轮车吗？
Fourier变换复指数展开式的几何意义
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