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哥德尔不完全性定理的内容和有效范围 (5) 何谓“证明”？

程京德

为了澄清众多中文出版物和网文中对哥德尔不完全性定理的各色各样误读、误解、误传、误用和歪曲，笔者曾在去年以一系列科学网博文对哥德尔不完全性定理做科普工作，以期帮助非专业一般人士更准确地理解哥德尔不完全性定理的内涵，帮助人们认清现在社会上人工智能汹涌浪潮中对哥德尔不完全性定理的各色各样曲解和误用。但是，1月25日科学网登出的一篇置顶精选博文让笔者发现，对哥德尔不完全性定理的误读和误解还在被当做是正确的科普而传播着，故笔者不得不再化点时间来继续做点澄清工作。

先来列举实例。在1月25日科学网置顶精选博文“说谎者悖论：从鳄鱼难题到数学证明的极限”中，作者这样写道：“逻辑学家哥德尔发现，有些正确的数学命题是永远不可能得到证明的。…… 这就是大名鼎鼎的哥德尔定理，它说明了数学证明的能力极限：有些真的数学命题是无法证明的。”

正确地准确地说，首先，哥德尔从未发现，更没有主张过自己发现了“有些正确的数学命题是永远不可能得到证明的”；其次，哥德尔不完全性定理（该文作者说的应该是此定理）的内容完全没有断定“它说明了数学证明的能力极限：有些真的数学命题是无法证明的”。关于哥德尔不完全性定理的内容和有效范围，请有兴趣的、未曾读过笔者系列博文的读者，参阅笔者的系列博文，此处不再赘述了。

那么，该文作者错在哪里，怎么会得出上面这样错误的陈述的呢？问题就出在该作者完全没有对“证明”的正确认识和理解，完全没有区分哥德尔不完全性定理中所陈述的“形式证明”和哥德尔不完全性定理关于形式系统性质的“元证明”，就乱用“证明”一词来陈述并不存在的事实。

笔者将继续注意关于哥德尔不完全性定理的引用，一旦发现对哥德尔不完全性定理究竟证明了什么的误读、误解、误传、误用和歪曲，继续在这里做澄清工作。

（2018年1月25日记）