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悖论集锦(2) –- 作为逻辑学中最大难题的蕴涵悖论问题（上） 

程京德

“逻辑学是一门研究论证与推理之正确性的基础性学问，其目的为建立和建全用于判断各种论证与推理之正确性的一般标准。”[1]  “逻辑学是最最重要的学问，没有任何其它学问比逻辑学更重要，因为逻辑学是任何其它学问之基础。”[2] “逻辑学之古老的、有趣的、有效的用途之一就是用来辨识、分析、解决各种悖论问题。”[3] “但是，实际上，逻辑学自身也有悖论！” “只要任何逻辑系统中被发现有与我们人类思维直觉相悖的‘悖论’问题，那么，我们就应该并且也必须去解决它们，这是逻辑学作为最最基本的规范性学问义不容辞的‘学科责任’！” [3] 

逻辑学中最核心的概念 -- “条件句”，及其在现代逻辑学中的表达 -- “蕴涵”

关于什么是逻辑学中最核心的概念，如同逻辑学的定义一样，至今仍然是一个有争论的话题。许多逻辑学家认为，“条件句”是逻辑学中的最核心概念 [4-50]；相关逻辑学家尤其强调： “我们把条件句概念作为逻辑学的核心 (We take the heart of logic to lie in the notion ‘if … then …’)”[7]，“现代逻辑学中的问题可以最好地表述为：我们能否对那些表达必然归结关系的条件句给出解释？(The problem in modern logic can best be put as follows: can we give an explanation of those conditionals that represent an entailment relation)”[9]。

何谓“条件句”？在自然语言中以“如果 …那么 …(IF … THEN …)”形式出现的“条件陈述句(conditional statement)”，在逻辑学中通常被称为“条件命题(conditional proposition)”或简单地称为 “条件句(conditional)”，条件句的“如果”部分通常被称为“前件(antecedent)”， 条件句的“那么”部分通常被称为“后件(consequent)”。逻辑学家以及哲学家、语言学家将条件句大致分为三类：指示性条件句(indicative conditional)、虚拟条件句(subjunctive conditional)、反事实条件句(counterfactual conditional)[24-52]。

一个指示性条件句意图断定，在条件句的前件和后件之间，存在着一种必然相关的充分条件关系：亦即，如果前件成立的话，那么后件也应该成立。因为本文仅涉及指示性条件句，下文将省略修饰词“指示性”而只简称条件句。

条件句在所有（没有例外）的文学、哲学、社会科学、逻辑学、数学、自然科学、工程技术等各个领域以及我们人类日常生活言谈交流中都起到必不可少、不可或缺的基本作用。文学家在作品中用条件句来描写各种推理场景； 哲学家、逻辑学家、数学家、科学家或工程师在各种概念定义、逻辑命题、数学或科学定理、技术规则、工程规范的陈述中用条件句来连接概念、事实、场景、结论与它们的前提充分条件。从逻辑学的角度来说，条件句的必不可少、不可或缺是因为它被用于任何一种论证形式（演绎、归纳、溯因）当中，而各种形式的论证是我们人类所有文化活动中所必须的。有兴趣的读者可以试一试，随便取一本任意领域的书籍，将其中所有条件句（以及本质上同样意义的句式）中的“如果 …那么 …”都删除掉，看看该书还能不能被视为“书”？再看看能否用其它词汇来代替被删去的“如果 …那么 …”使得该书能被视为“书”？

既然“条件句”概念如此重要和不可或缺，当然需要在逻辑学中把它定义清楚。那么，如何清晰准确地定义“条件句”概念？这其实仍然还是一个没有完全解决的难题，而且，如果把条件句视为逻辑学的最核心概念，那么条件句概念的清晰准确定义就是逻辑学中最大的难题 [4]。

历史上最早讨论“条件句”概念是古希腊麦加拉学派哲学家第奥多鲁斯·克诺鲁斯(Diodorus Cronus, ?-284 BC)和他的学生麦加拉的菲罗(Philo of Megara, 约300 BC)[53]。塞克斯都·恩披里柯(Sextus Empiricus, 160-210)在提及这场讨论时列举了四种关于条件句性质的观点：“(1) 菲罗说，完善的条件句是一种不是开始于真而结束于假的条件句。… (2) 第奥多鲁斯·克诺鲁斯说，完善的条件句是一种即非过去可能，又非现在可能开始于真而结束于假的条件句。… (3) 那些采用联系概念的人说，一个条件句当它的后件的矛盾句是和它的前件不相容时就是完善的条件句。… (4) 那些用蕴涵关系来判断的人说，一个真的条件句是其后件潜在地包含在前件里面的条件句。”[53]。

“当菲罗说一个条件句是完善的，当且仅当它不是开始于真而结束于假，他就是在提供一个“如果 … 那么 …”的现在所谓的真值函项定义，也就是说，按照这样一种定义，条件陈述句的真或假是由它的前件和后件的真假所决定的。”[53] 塞克斯都·恩披里柯在谈到菲罗的观点时说，“所以按照他的观点，条件句可以有三种方式是真的，一种方式是假的。首先，一个条件句如果它开始于真并且结束于真，则该条件句是真的，例如‘如果是白天，那么天是亮的’；其次，一个条件句如果它开始于假并且结束于假，则它也是真的，例如‘如果地球飞行，那么地球有翼’；同样，如果一个条件句开始于假并且结束于真，那么这个条件句本身也是真的，例如‘如果地球飞行，那么地球就存在’。一个条件句是假的，仅当它开始于真并且结束于假，例如‘如果是白天，那么就是夜晚’。”[53]

在古希腊时代，克律西波斯(Chrysippus, 280-206 BC)就已经将命题划分为简单的和复合的，并且用一个逻辑联结词来联结条件句的前件与后件，将一个条件句表达为一个由两个简单命题组成的复合命题；显示了一个复合命题的真值是其简单命题成分之真值的函数 [54]。 

现代逻辑学发展中，德国逻辑学家弗雷格(Friedrich Ludwig Gottlob Frege, 1848-1925)在其著作“Begriffsschrift (a formulalanguage, modeled on that of arithmetic, for pure thought)”(1879)中，建立了使用“否定”和“蕴涵”两个初始真值联结词以及全称量词的首个一阶谓词逻辑演算，奠定了现代经典数理逻辑的基础，弗雷格明确定义了“真值蕴涵”(亦即“实质蕴涵”)的真值表并且指出了真值蕴涵与日常语言中的条件句之不同 [53-58]。意大利逻辑学家数学家皮亚诺(Giuseppe Peano, 1858-1932)在其著作“Arithmetices Principia: Nova Methodo Exposita(The Principles of Arithmetic, Presented by a New Method)”(1889)中所创建的表意语言中使用了表意符号来表达“蕴涵” [53-58]。英国哲学家逻辑学家罗素(Bertrand Arthur William Russell, 1872-1970)在其著作“The Principles of Mathematics”(1903)中，以及在与英国哲学家数学家怀德海(Alfred North Whitehead, 1861-1947)合著的三卷本著作“Principia Mathematica”(亦即通称“PM”的名著)(Vol.1,1910, Vol.2,1912, Vol.3,1913)中提出的逻辑系统中定义和使用了作为真值函数的逻辑联结词“实质蕴涵(material implication)” [53-58]。罗素特别强调说，“形式逻辑主要关注命题之间的蕴涵关系(Formal Logic is concerned in the main and primarily with the relation of implication between propositions)。” “纯数学是所有形式为“p蕴涵q”的命题的类，其中p和q是包含一个或多个变量的命题，这些变量在这两个命题中是相同的，p和q都不包含除逻辑常数之外的任何常数(Pure Mathematics is the class of all propositions of the form ‘p implies q,’ where p and q are propositions containing one or more variables, the same in the two propositions, and neither p nor q contains any constants except logical constants)。” [59,60]。从此，经典数理逻辑学家们就都沿用弗雷格和罗素的真值函数联结词“实质蕴涵”定义至今；而因为该定义原本来源于菲罗的定义，所以也有逻辑学家称“实质蕴涵”为“菲罗蕴涵”。

必须提及的重要历史事实是，现代模态逻辑的先驱英国逻辑学家麦柯尔(Hugh MacColl, 1837-1909)从1880年到1906年在“Mind”杂志上发表的一系列关于“符号推理(Symbolic Reasoning)”的论文以及将这些论文汇编成的著作“Symbolic Logic and Its Application”(1906)中，明确地提出了关于命题的模态概念并且定义了作为条件句表达的“蕴涵”应该为：“如果前件为真，那么后件也必然为真”，并且在1880年的第一篇文章中就指出，“(p->q)和(!p or q)并不等价，(!p or q)可以从(p->q)得出但是反之则不然((p->q) and (!p or q) are not equivalent: (!p or q) follows from (p->q), but not vice versa)。之所以如此，是因为麦柯尔将“or”解释为常规外延析取，将“->”解释为内涵蕴涵，但从p的假或者q的真并不能得出没有q的p在逻辑上是不可能的(This is the case because MacColl interprets “or” as regular extensional disjunction, and “->” as intensional implication, but then from the falsity of p or the truth of q it does not follow that p without q is logically impossible)。” [58,61-66]。所以，麦柯尔所定义的“p蕴涵q”不是一个等价于“非p或q”的真值函数，“非p或q”是“p蕴涵q”的必要条件但并非充分条件。1897年，麦柯尔还在对陈述句划分为确定的(certainties)、可能的(possibilities)、和非确定的(variable statements)三种类型的基础上，将蕴涵关系区分为“因果蕴涵(causal implication)”和“一般蕴涵(general implication)”：“在陈述句α和β之间存在一个“因果蕴涵”，如果无论何时α为真，β为真，而β不是确定的。在陈述句α与β之间存在一个“一般蕴涵”，如果无论何时当α与非β为不可能时，特别是当α不可能或β确定时(A causal implication holds between statements αand βif whenever αis true βis true, and βis not a certainty. A general implication holds αbetween βand whenever αand not βis impossible, thus in particular whenever αis an impossibility or βa certainty.)”[58,61-66]。

蕴涵悖论问题及其重要意义

众所周知，原本为了表达条件句而引入经典数理逻辑里的真值函数联结词“实质蕴涵”并非条件句的恰如其分的准确表达，有所谓的“蕴涵悖论(paradoxes of implication, implicational paradoxes)”或“实质蕴涵悖论(paradoxes of material implication)”问题 [4-67]。[蛇足一句，你如果看到一本逻辑学教科书中告诉你把实质蕴涵就当作是条件句“如果 … 那么 …”来理解和使用，那么你就可以把这本误人子弟的书扔掉了。]

下面的真值表显示了条件句与实质蕴涵的一个真值表之比较。从表中我们可以看出，条件句的真假不仅仅取决于其前件后件的真假，还取决于其前件后件之间有无必然相关关系；而实质蕴涵的真假仅仅取决于其前件后件的真假，与其前件后件之间有无必然相关关系毫不相干。相对于前件后件的真假组合，条件句显示出“三真四假”的真值结果，而实质蕴涵仅仅显示出“三真一假”的真值结果。这个真值表之比较非常清楚地显示出条件句与实质蕴涵在逻辑语义上的不同，用实质蕴涵来表达条件句是不准确的、有问题的。

逻辑学界把用实质蕴涵来表达条件句时所产生的问题统称为“（实质）蕴涵悖论”问题 [4-67]。

比如，下面这些具体的经验的条件句命题如果用实质蕴涵（这里用->来表达）来表达，那么按照实质蕴涵的逻辑语义都应该是真的（但是从常识来看明显不能被认可为真的经验蕴涵悖论）：

“如果雪是白的，那么1+1=2” 表达为 “雪是白的->1+1=2”

“如果雪是黑的，那么1+1=2” 表达为 “雪是黑的->1+1=2”

“如果雪是黑的，那么1+1=3” 表达为 “雪是黑的->1+1=3”

下面这些抽象的逻辑的条件句命题（逻辑蕴涵悖论）则都是经典数理逻辑的逻辑定理模式（亦即，将一个逻辑定理模式的每个命题变量代入一个具体的经验的命题，都将得到一个具体的逻辑定理）：

A->(B->A), 

B->(notA or A),

notA->(A->B),

(notA and A)->B (ECQ, ex contradictione quodlibet), 

(A->B) or (notA->B), 

(A->B) or (A->notB), 

(A->B) or (B->A), 

((A and B)->C)->((A->C) or (B->C))

我们用上面最后一个经典数理逻辑的逻辑定理模式来举个例子（笔者讲授逻辑学课程时经常用的例子，听课的都是比较难考进的大学的本科生或研究生）。如果我们把一个实质蕴涵逻辑式就当做条件句，将A，B，C分别以“入学考试成绩达到录取标准”，“体检合格”，“可以录取入学”代入，那么就会得到：

如果

“如果入学考试成绩达到录取标准并且体检合格，那么可以录取入学”，

那么

“如果入学考试成绩达到录取标准那么可以录取入学，或者，如果体检合格那么可以录取入学”。

如果认可上面的条件句是对的（从认为经典数理逻辑的每个逻辑定理模式被应用到任何具体领域内的命题时都应该表达了正确的陈述这样的观点出发，就不得不认可！），那么，原本要求成绩合格并且体检也合格的录取标准，就被改成了，或者成绩合格或者体检合格，都可以被录取！这显然是不合常理的。

对于用“菲罗蕴涵”来表达条件句，在古希腊时代就有反对和争议。当形式逻辑被完全形式化为经典数理逻辑，实质蕴涵被用作为其真值函数联结词（在有些经典数理逻辑形式化系统中还被定义为初始联结词）之后，许多逻辑学家对于（实质）蕴涵悖论问题就不能容忍了。

但是，出自对逻辑学之本质的认识的不同，不同的逻辑学家对于蕴涵悖论问题当然有着不同的观点。大致上说，绝大部分哲学逻辑学家们认为，蕴涵悖论就是逻辑学中的悖论，是需要去解决的问题，部分数理逻辑学家们认为，实质蕴涵本来就是一个清楚定义了的真值函数，不是什么悖论。

笔者本人的观点是，“只要任何逻辑系统中被发现有与我们人类思维直觉相悖的‘悖论’问题，那么，我们就应该并且也必须去解决它们，这是逻辑学作为最最基本的规范性学问义不容辞的‘学科责任’！” [3] 

本文接下来介绍一些对蕴涵悖论问题的解决有本质上进展的工作。

参考文献

[1] 程京德，“逻辑学是什么”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年1月25日。

[2] 程京德，“逻辑学之重要性（及对其在中国被轻视之原因初探）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年1月27日。

[3] 程京德，“悖论集锦 (1) -- 逻辑学中也有悖论意味着什么？”微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年1月20日，“悖论集锦 (1) -- 逻辑学中也有悖论意味着什么？”（增补版），微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2024年1月25日。

[4] 程京德，“条件句：逻辑学中的最核心概念及最大难题”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年1月29日。

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