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分金博弈:聪明反被聪明误?

已有 4401 次阅读 2018-5-26 12:29 |个人分类:逻辑学|系统分类:科普集锦| 博弈, 倒推法

分金博弈:聪明反被聪明误?

马耀基 

分金游戏

甲乙两人玩一个游戏:桌上共有100块金子,两人轮流取走金子。

先轮到甲。甲有两种选择,拿走一块,或者拿走两块。如果是拿走一块,则轮到乙。如果是拿走两块,则游戏结束。剩下的金子谁都不能再拿。

当轮到乙时,规则与甲相同,也有两种选择,拿走一块则轮到甲,拿走两块则游戏结束。

游戏的目标是自己尽量拿到更多的金子。不是要赢别人,不是要拿得比别人多。

两人不能商量。第一步由甲先取金子,甲应该如何做?游戏的结局会怎样?

(分金游戏是由罗森塞尔先提出来的,又叫蜈蚣博弈,因为它的博弈树长得像蜈蚣。)

聪明反被聪明误?

乍一看,这题简单,甲拿一块,乙拿一块,然后甲再拿一块,这样子轮流拿下去,两个人把桌上的金子瓜分了,每人拿到50块。

但进一步想,好像不是这么简单,当每人拿走49块时,桌上还剩两块金子。这时轮到甲拿,甲会一次把金子拿完。这样最终甲拿到51块金子,乙拿到49块。但乙也很聪明,想到甲在最后一次会坑他,所以乙先下手为强,在第48次轮到自己拿时,先拿两块。而甲同样很聪明,提前算到了这一点。……细思极恐,这样倒推下去,岂不是第一次轮到甲拿时,甲直接拿走两块金子,桌上还剩98块,游戏结束!

确实是这样,我们来严格证明这一点。假设桌子上一共有两块金子。轮到甲拿,甲毫无疑问全拿走。如果桌上共有三块金子呢,甲先拿会拿几块?甲还是拿走两块。桌上有四块金子呢?甲同样会先拿两块。因为如果甲拿一块金子,就剩下三块,刚才已经证明了剩下三块时先拿的一方会拿走两块金子,这样甲最终只有一块金子。所以不如一开始就拿两块。同样的道理,桌上有五块金子,甲也先拿两块。这样一直推下去,桌上有100块金子,甲也是拿两块。

但这个结果看上去并不合理。本来的目标是为了拿更多的金子,结果只拿到了两块,桌上还有98块浪费了。想得太多,聪明反被聪明误,这又叫做搬起石头砸自己的脚?

但这个推理是严格的,逻辑的力量迫使甲一开始就拿两块金子。问题出在哪里?

 倒推法的局限

 上面的推理假设了甲乙两人都用倒推法,才得出甲开始就拿两块的结论。如果甲开始只拿一块金子会怎样呢?乙知道甲没有用倒推法。所以乙知道,如果自己只拿一块金子,接下来甲不一定拿两块。所以,还有99块金子时,乙会考虑只拿一块。

甲也考虑到这一点:自己开始只拿一块金子的做法会影响到乙接下来的选择,使得乙可能也只拿一块。这样甲就没有必然的理由一开始就拿两块。这样原来用倒推法得到的结论就动摇了。

事实上,甲开始时只拿一块,乙会意识到甲想和自己合作尽量把桌上的金子拿完。于是乙也只拿一块。这样你一块我一块,两人一直合作下去。

但两人会不会合作到底,最终每人拿50块金子呢?不会。因为在最后阶段两人的利益是冲突的,必然有人拿两块。但具体在什么时候结束游戏,有一定的主观性。所以这个游戏没有标准答案。凭感觉,还剩四块左右时,有人会直接拿走两块金子。

科学花果山



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1 郭景涛

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