分金博弈：聪明反被聪明误？

马耀基 

分金游戏

甲乙两人玩一个游戏：桌上共有100块金子，两人轮流取走金子。

先轮到甲。甲有两种选择，拿走一块，或者拿走两块。如果是拿走一块，则轮到乙。如果是拿走两块，则游戏结束。剩下的金子谁都不能再拿。

当轮到乙时，规则与甲相同，也有两种选择，拿走一块则轮到甲，拿走两块则游戏结束。

游戏的目标是自己尽量拿到更多的金子。不是要赢别人，不是要拿得比别人多。

两人不能商量。第一步由甲先取金子，甲应该如何做？游戏的结局会怎样？

（分金游戏是由罗森塞尔先提出来的，又叫蜈蚣博弈，因为它的博弈树长得像蜈蚣。）

聪明反被聪明误？

乍一看，这题简单，甲拿一块，乙拿一块，然后甲再拿一块，这样子轮流拿下去，两个人把桌上的金子瓜分了，每人拿到50块。

但进一步想，好像不是这么简单，当每人拿走49块时，桌上还剩两块金子。这时轮到甲拿，甲会一次把金子拿完。这样最终甲拿到51块金子，乙拿到49块。但乙也很聪明，想到甲在最后一次会坑他，所以乙先下手为强，在第48次轮到自己拿时，先拿两块。而甲同样很聪明，提前算到了这一点。……细思极恐，这样倒推下去，岂不是第一次轮到甲拿时，甲直接拿走两块金子，桌上还剩98块，游戏结束！

确实是这样，我们来严格证明这一点。假设桌子上一共有两块金子。轮到甲拿，甲毫无疑问全拿走。如果桌上共有三块金子呢，甲先拿会拿几块？甲还是拿走两块。桌上有四块金子呢？甲同样会先拿两块。因为如果甲拿一块金子，就剩下三块，刚才已经证明了剩下三块时先拿的一方会拿走两块金子，这样甲最终只有一块金子。所以不如一开始就拿两块。同样的道理，桌上有五块金子，甲也先拿两块。这样一直推下去，桌上有100块金子，甲也是拿两块。

但这个结果看上去并不合理。本来的目标是为了拿更多的金子，结果只拿到了两块，桌上还有98块浪费了。想得太多，聪明反被聪明误，这又叫做搬起石头砸自己的脚？

但这个推理是严格的，逻辑的力量迫使甲一开始就拿两块金子。问题出在哪里？

 倒推法的局限

 上面的推理假设了甲乙两人都用倒推法，才得出甲开始就拿两块的结论。如果甲开始只拿一块金子会怎样呢？乙知道甲没有用倒推法。所以乙知道，如果自己只拿一块金子，接下来甲不一定拿两块。所以，还有99块金子时，乙会考虑只拿一块。

甲也考虑到这一点：自己开始只拿一块金子的做法会影响到乙接下来的选择，使得乙可能也只拿一块。这样甲就没有必然的理由一开始就拿两块。这样原来用倒推法得到的结论就动摇了。

事实上，甲开始时只拿一块，乙会意识到甲想和自己合作尽量把桌上的金子拿完。于是乙也只拿一块。这样你一块我一块，两人一直合作下去。

但两人会不会合作到底，最终每人拿50块金子呢？不会。因为在最后阶段两人的利益是冲突的，必然有人拿两块。但具体在什么时候结束游戏，有一定的主观性。所以这个游戏没有标准答案。凭感觉，还剩四块左右时，有人会直接拿走两块金子。

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