“概念不清，只能胡说八道”是大连工业大学的农绍庄教授对博文（“混淆概念”逻辑错误的公式表达）的一句精辟评论。

数学概念是人脑对现实世界数量关系及空间形式的思维反映，它不仅是组成判断和推理的“细胞（最小单位）”，也是构成数学知识体系的逻辑基础。例如，《微积分》就是建立在“函数”基本概念之上的数学理论。

但是，数学概念的高度抽象性却导致不少数学家远离现实世界，无法正确理解数学概念的内涵，从而把两个完全不同的数学概念当作同一概念等同使用，产生 “混淆概念”的逻辑错误，导致从基本概念出发推理出的数学理论不仅在逻辑上不能自洽，而且与经验事实不符。

这里为大家举一个“概念不清，只能胡说八道”的典型实例。

样本函数、随机变量和随机过程是《随机过程》教科书中的三个基本概念，图1给出了这三个基本概念的定义及相互关系。

图1 随机过程、样本函数和随机变量定义示意图

从图1的随机过程定义示意图可以看出，随机过程是样本函数或样本轨道的集合，样本函数是描写个体（元素）时间数量关系的数学概念，随机变量则是描写整体（集合）空间数量关系的数学概念。

从物理学角度看，样本函数、随机变量和随机过程这三个数学概念是分别描述粒子随机运动过程的三种数学工具，样本函数用来描述一个粒子在不同时刻的位置（一个粒子的位置随时间变化过程），随机变量描述所有粒子在同一时刻的位置（所有粒子在某一时刻的空间位置分布状态），随机过程则描述所有粒子在不同时刻的位置（所有粒子的位置变化过程）。

《应用随机过程》是北大数院院长陈大岳、章复熹、钱敏平和龚光鲁等四位教授为北大数院本科生合编的教材，教材被列入普通高等教育“十一五”国家级规划教材。

四位教授对随机过程、随机变量和样本函数概念的解释（图2划红线文字）如下：

（1）随机变量X可以被视为一个粒子；

（2）我们将随机变量等同于一个位于空间S中的粒子；

（3）随机过程（stochastic process）则是一个运动的粒子；

（4）随机过程的取值是S中的一条轨道；

（5）我们可以将随机过程理解为一条随机轨道。

图2《应用随机过程》讲义对随机过程基本概念的解释

显然，四位教授对本学科的基本概念极其不清，混淆了随机过程、随机变量和样本函数这三个基本概念的内涵（集合数量关系和元素数量关系），错误地理解了这三个基本概念与现实世界之间的对应数量关系，竟将随机变量和随机过程解释为一个粒子的位置变化过程。

根据图1的随机过程定义示意图，我们对四位教授的基本概念错误进行纠正：

（1）随机变量X可以被视为一个粒子；

正：随机变量可以被视为n个粒子在某一时刻的位置

（2）我们将随机变量等同于一个位于空间S中的粒子；

正：随机变量等同于n个位于空间S中的粒子在某一时刻的位置

（3）随机过程（stochastic process）则是一个运动的粒子；

正：随机过程描述的是n个粒子的运动过程

（4）随机过程的取值是S中的一条轨道；

正：随机过程的取值是S中的n条轨道

（5）我们可以将随机过程理解为一条随机轨道。

正：随机过程是n条随机轨道的集合

陈大岳、章复熹、钱敏平和龚光鲁四位教授在《应用随机过程》的前言中写道：“作者并无实际应用经验，但我们深信，随机过程理论可以用来描述、理解、解决实际问题。”

虽然四位教授谦虚地承认自己没有实际应用经验，但还是严重地脱离了实际。在不清楚数学概念与现实世界对应数量关系的情况下，用随机变量来描述“一个粒子在不同时刻的位置”，混淆了样本函数和随机变量这两个基本概念的内涵（元素与集合），违反同一律逻辑要求，产生了“混淆概念”的逻辑错误，无形中使研究对象从“一个粒子”改变为“粒子集合”，不仅导致《应用随机过程》在逻辑上不能自洽，而且与经验事实不符，竟然得出了“布朗运动位移服从正态分布”和“布朗运动轨道处处不可微（瞬时速度不存在）”等与《物理学》实验结果不符的荒谬结论，无法正确描述实际随机现象数量关系及变化规律，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。

灵魂拷问：

《随机过程》的物理研究对象为一个随机运动的粒子位移随时间变化过程，那么，建立《随机过程》理论的逻辑基础是“随机变量”还是“样本函数”？

参考：

随机过程中的随机变量概念错误及纠正（后印本）

随机过程的四种不同情况及对应的分析方法

图解随机过程、随机变量和样本函数三个基本概念及其相互关系

样本函数、随机变量和随机过程三个数学概念的物理意义