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从数学学科的角度看,随机过程是定义在Ω×T上的二元函数X(ω,t);从物理学学科的角度看,所有质点(粒子)随时间的运动过程构成随机过程X(ω,t),样本点ω对应于不同的质点(图1)。
图1 随机过程定义示意图
图1中的三条时间函数曲线可看作是三个质点的随机运动位移曲线,下面分析随机过程X(ω,t)在四种不同情况下的含义及分析方法。
一、固定ω时的随机过程X(ω,t)
固定样本点ω,X(ω,t)是时间t的函数,称为样本函数或样本轨道,记为x(t)。
一个样本函数x(t)对应着一个质点的位移随时间的变化过程或 “观测结果”,一个质点的位移测量结果是一个确定的时间函数或时域波形,因此样本函数x(t)也被称为随机过程的一个“实现”。
由于样本函数x(t)是时间t的函数,通常有时域分析和频域分析两种分析方法。
时域分析方法是计算x(t)在所有不同时刻取值的时间平均(均值、方差及自相关函数),频域分析方法是计算x(t)在频域的功率谱密度。
图2(a)为平均功率为σ2的高斯白噪声信号x(t)时域波形,x(t)在不同时刻的取值服从图2(b)所示的(0,σ2)正态分布,图2(c)为高斯白噪声信号x(t)的自相关函数,图2(d)为高斯白噪声信号x(t)的功率谱密度。
图2 高斯白噪声样本函数
二、固定t时的随机过程X(ω,t)
固定时间t ,X(ω,t)是样本点ω的函数,称为随机变量,记为X(t)。
随机变量X(t)描述了所有质点在t时刻空间位置分布状态。X(t)并不是时间t的函数,符号X(t)中的t只是一个时间标记而已。
对于随机变量X(t),我们不仅要说明它能够取哪些值,而且更关心X(t)取各种可能值的概率及统计参数(数学期望和方差等),因为可观测宏观物理量与微观粒子的统计规律有关,因此,研究随机变量X(t)的取值概率或数字特征时,只能采用概率分析方法。
图3为1000个布朗粒子的位移曲线(样本轨道),所有布朗粒子在t时刻的位置{x1(t),x2(t),…,x1000(t)}就是随机变量X(t)在t时刻的状态。
图3 布朗运动样本轨道与随机变量
根据爱因斯坦布朗运动理论,所有布朗粒子在t时刻的位置{x1(t),x2(t),…,x1000(t)}服从均值为零、方差为σ2t的正态分布,即
X(t)~N(0,σ2t)
表1 样本函数与随机变量的区别
三、固定ω和固定t时的随机过程X(ω,t)
固定ω,固定t,X(ω,t)就是样本函数x(t)在t时刻的取值,其物理意义表示某个质点在t时刻的位移观测值,是一个实数。
《随机过程》教科书在定义布朗运动(维纳过程)时,将固定ω和固定t时的X(ω,t)当作随机变量,假设布朗粒子在t时刻位移值x(t)为随机变量,并服从(0,σ2t)正态分布。
但是,《随机过程》教科书在研究布朗运动首中时Ta时,又将固定ω和固定t时的X(ω,t)当作常数,这就导致了《随机过程》布朗运动理论在逻辑上不能自洽(布朗运动首中时逻辑悖论)。
四、ω和t均变化时的随机过程X(ω,t)
当ω和t均变化时,X(ω,t)就形成图1和图3所示的一族样本函数,所有这些样本函数的总体就构成了随机过程。
随机过程X(ω,t)的时间变化规律和空间统计特性,可以通过研究样本函数x(t)和随机变量X(t)分别获得。
五、随机过程的工程定义与数学定义
根据工程实际应用和数学理论研究的不同目的,有两种等价的随机过程定义。
工程定义:随机过程X(ω,t)是一族依赖于样本空间Ω的样本函数x(t)集合。
数学定义:随机过程X(ω,t)是一族依赖于时间参数集T的随机变量X(t)集合。
工程定义与实际随机现象的观测结果一致,因此研究和解决实际问题时,使用工程定义非常直观方便。
数学定义把随机过程看成是多维随机变量,对随机变量进行理论分析时,可以直接使用《概率论》中的多维随机变量理论,因此,《随机过程》教科书通常使用数学定义。
由于随机过程的数学定义使用时间函数符号X(t)来表示定义在样本空间Ω上的随机变量,导致随机过程学科和其它学科混淆了样本函数与随机变量的区别,人们往往将随时间随机变化的变量(样本函数)错误地抽象为随机变量X(t)。
《金融数学》中的B-S期权定价公式将随时间变化的股票价格抽象为随机变量,并用随机变量的标准差来度量股票价格(样本函数)的波动范围。B-S期权定价公式虽然为股票、债券、货币、商品等金融衍生产品的定价提供了数学工具,但其在金融市场的大规模应用,竟成为直接导致 1987、1997 和 2007 年三次重大金融危机的罪魁祸首。被誉为“中国金融数学开创者”、获得2020未来科学大奖“数学与计算机科学奖”的彭实戈院士,在《中国基础研究发展报告(科技部基础研究司,2019)》第二章中国数学前沿进展中明确指出:B-S 期权定价理论是造成以前历次重大金融危机的关键性原因。
六、各态历经随机过程
从表1可以看出,随机变量X(t)和样本函数x(t)的取值范围在一般情况下是不同的。有一种平稳随机过程,任何一个样本函数x(t)的取值范围都与随机变量X(t)的取值范围完全相同,这种随机过程通常被称为各态历经随机过程(图4)。
各态历经随机过程中的任何一个样本函数x(t),都经历了随机变量X(t)的所有可能状态,因此可通过研究任何一个样本函数x(t)的时间平均,来代替随机变量X(t)的统计平均或集合平均,极大地简化动态随机现象的测量和计算过程。
图4 各态历经随机过程
七、《随机过程》教科书的研究对象错位问题
从物理学角度看,牛顿力学和《随机过程》均以质点作为研究对象。牛顿质点运动学研究的是质点的确定性运动,而《随机过程》研究的是质点的随机性运动(随机游走、布朗运动和泊松跳跃)。
牛顿力学将质点在t时刻的位移x(t)抽象为时间函数。
根据随机过程的定义,一个随机运动的质点在t时刻的位移x(t)是固定ω时的随机过程X(ω,t)或样本函数x(t),而样本函数x(t)本身就是时间t的函数。
但是,《随机过程》教科书却将一个质点在t时刻的位移x(t)当作随机变量X(t),导致《随机过程》教科书的物理研究对象从单个质点改变为质点集合,数学研究对象从样本函数改变为随机变量,只能用刻画大量质点集体行为的统计特性来描述一个质点的个体行为,因此建立的《随机过程》理论必然与经验事实不符,在逻辑上不能自洽。
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