布朗运动是一种广泛存在于自然界、工程技术和社会经济等领域中的随机现象，如悬浮微粒的无规则运动、光纤陀螺随机游走误差和股票市场价格波动等。这些随机现象虽然是完全不同的物理过程，但它们所遵循的数量关系和运动规律在数学方程上具有相同的形式，例如它们的瞬时速度均为平均功率有限的白噪声。

表1给出了《物理学》、《随机过程》和《随机信号分析》这三门学科对布朗运动现象及规律的数学描述，图中红字部分表示该结论与实验结果不符。

图1 三个不同学科对布朗运动现象的描述

一、《物理学》布朗运动理论

1905年，爱因斯坦首先对布朗运动进行了定量研究，并提出了两个基本假设：

（1）同一布朗粒子在不同时间间隔中的运动相互独立；

（2）不同布朗粒子之间的运动互不相关。

爱因斯坦根据上述假设建立了布朗运动扩散方程，求出扩散方程的解析解，得出了布朗粒子浓度f(x,t)服从正态分布的结论，有

f(x,t)～N(0,2Dt)

式中D为扩散系数。

图2为布朗粒子在t时刻的位置示意图。对所有布朗粒子的位移值x_i(t)进行统计分析，就能检验布朗粒子浓度f(x,t)是否服从正态分布，并计算出浓度f(x,t)在t时刻的标准差σ_t。

图2 布朗粒子在t时刻的空间位置分布

1908年，法国物理学家佩兰（Perrin）的布朗运动实验证明了爱因斯坦“布朗运动浓度服从正态分布”的结论，佩兰同时也第一次实验证明了原子的存在，并于1926年获得了诺贝尔物理学奖。

爱因斯坦在“布朗运动浓度服从正态分布”的基础上又进一步假设：一个布朗粒子在t时刻的位移x(t)也服从与浓度f(x,t)相同的正态分布，即

x(t)～N(0,2Dt)

并将浓度正态分布在t时刻的标准差σ_t当作布朗粒子在t时刻的位移x(t)，得出了著名的爱因斯坦位移公式

x(t)=2Dt

因此，布朗粒子位移与时间的平方根成正比。

爱因斯坦根据位移公式按下式计算布朗粒子在时间间隔t上的平均速度\bar{v(t)}=\frac{x(t)}{t}=\frac{\sqrt{2D}}{\sqrt{t}}

\bar{v(t)}=\frac{x(t)}{t}=\frac{\sqrt{2D}}{\sqrt{t}}

当时间t趋于零时，平均速度趋于无穷大，表明布朗粒子的瞬时速度无穷大，爱因斯坦因此得出结论：布朗粒子瞬时速度无穷大，在实践中无法测量。

2010年，美国得克萨斯大学的李统藏利用激光光镊技术首次实验测量到了悬浮布朗粒子的瞬时速度，实验结果表明：布朗粒子瞬时速度是平均功率有限的白噪声，爱因斯坦“布朗粒子瞬时速度无穷大”的结论被证伪。

显然，爱因斯坦对单个布朗粒子随机运动的研究方法犯有两个非常严重的常识性概念错误：

（1）将大量布朗粒子的浓度分布规律假设为单个布朗粒子的位移变化规律；

（2）将描述所有布朗粒子与均值（原点）平均偏离程度的统计参数（标准差）假设为单个布朗粒子的位移。

爱因斯坦混淆了浓度与位移基本概念，以及统计参数与单个样本观测值之间的区别，竟创造出了“单个布朗粒子个体运动规律=大量布朗粒子集体统计规律”的错误研究方法，这就如同用温度来度量一个分子的动能一样违背基本常识，必然会得出与经验事实不符的错误结论。

从形式逻辑的角度看，爱因斯坦违背了逻辑思维规律中的同一律，把浓度和位移这两个完全不同的物理概念当作同一个概念使用，出现了 “混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误。

二、《随机过程》布朗运动理论

1913年，维纳完成哈佛大学的博士论文答辩后，向学校申请了旅行奖学金，选择在英国剑桥大学留学，师从英国哲学家罗素（Russell）。

罗素对物理学中的重要发现有着敏锐的嗅觉，他建议维纳去阅读爱因斯坦1905 年发表的三篇研究论文，并教导维纳牢牢记住：数学很重要，但必须要有坚实的物理概念进行支撑。

维纳阅读完爱因斯坦关于相对论、光电效应和布朗运动的三篇论文后，对“一个微粒所走曲线的数学性质”产生了浓厚的兴趣。

维纳显然忘记了罗素“数学很重要，但必须要有坚实的物理概念进行支撑”的教导，没有发现爱因斯坦混淆浓度与位移基本概念的逻辑错误，直接将爱因斯坦的布朗运动物理模型改写为没有物理参数的数学模型，给出了如下的布朗运动定义：

设为一个布朗粒子在时刻的位移，，若

（1）为平稳独立增量过程；

（2），其中为常数；

（3）是的连续函数。

则称是参数为的布朗运动。

从形式逻辑的角度看，维纳的布朗运动定义也违背了逻辑思维规律中的同一律，把时间函数和随机变量这两个完全不同的数学概念当作同一个概念使用，出现了与“贝克莱悖论”类似的逻辑悖论。

维纳根据上述定义，得出了“布朗粒子瞬时速度无穷大（不存在）”和“布朗运动路径处处不可导”的著名论断。

《随机过程》布朗运动定义中的基本数量关系不仅与物理学客观事实完全不符，而且隐含有违反同一律的逻辑悖论，因而使《随机过程》布朗运动理论的客观真理性和逻辑完备性在逻辑出发点就遭到彻底破坏，出现了一系列理论与经验事实不符、逻辑上不能自洽等反常问题，导致《随机过程》布朗运动理论无法正确描述布朗运动现象、特征及规律，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的方法、理论及工具。

三、《随机信号分析》布朗运动理论

在航空、航海、航天和国防建设中，飞机、导弹、潜艇和宇宙飞船等载体的位移是通过对速度传感器测量数据的积分获得的（图3）。如果速度传感器的输出信号中含有白噪声n(t)，则白噪声n(t)通过积分器后的输出为x(t)，通常被称为布朗噪声。

图3 布朗运动系统模型

图4为光纤陀螺角速度测量信号中的白噪声信号波形，以及白噪声通过积分器后的输出波形。由于布朗噪声的功率谱密度函数与频率的平方成反比，因此布朗噪声又被称1/f²噪声或红噪声。

图4 光纤陀螺中的白噪声和布朗噪声

在《IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Single-Axis Laser Gyros（IEEE 647-2006）》国际标准和中华人民共和国国家军用标准《光纤陀螺仪测试方法（GJB2426A-2004）》中，布朗噪声x(t)被称为随机游走（Random Walk）。

定义：若积分器的输入为白噪声n(t)，输出为x(t)，则称

x(t)=\int_{0}^{t}n(t)dt

为随机游走（布朗噪声）。

上述定义是用白噪声过程的样本函数n(t)的积分来定义布朗运动的样本函数x(t)，白噪声过程为各态历经过程，白噪声样本函数n(t)的时间平均和白噪声随机变量N(t)的统计平均在概率意义上相等，因此布朗运动随机变量X(t)可写为

X(t)=\int_{0}^{t}N(t)dt

设N(t)为服从(0，σ²t)正态分布的高斯白噪声，则布朗运动随机变量X(t)的数学期望和方差分别为

E[X(t)]=\int_{0}^{t}E[N(t)]dt=0

D[X(t)]=\int_{0}^{t}D[N(t)]dt=\sigma^{2}t

与爱因斯坦布朗运动理论中的浓度分布规律完全一致。

光纤陀螺每次启动运行时，均会产生不同的随机游走样本轨道（图5），所有随机游走样本轨道在t时刻的取值服从(0，σ²t)正态分布。

图5 光纤陀螺布朗噪声样本轨道

光纤陀螺中的布朗噪声会随时间的积累变得越来越大，严重影响飞机、导弹、潜艇和宇宙飞船的导航精度，为了减小布朗噪声对载体导航精度的影响，有效可行的办法是采用数字信号分析技术对布朗噪声进行建模和实时补偿。

四、结论

从《随机信号分析》布朗运动理论在惯性导航技术领域的成功应用可以看出，《随机过程》是一门理论与实践严重脱节的应用数学学科。

数学具有高度的抽象性和严谨的逻辑性，但是《随机过程》布朗运动定义却将描述大量布朗粒子的浓度分布规律抽象为一个布朗粒子的位移变化规律，并用时间函数和随机变量这两个完全不同的数学概念来描述布朗粒子位移，导致《随机过程》布朗运动基本假设中的数量关系与客观事实不符，并隐含有违反同一律的逻辑悖论，使《随机过程》布朗运动理论的客观真理性和逻辑完备性在逻辑出发点就遭到彻底破坏，无法正确描述布朗运动现象、特征及规律，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的方法、理论及工具。

参考：

布朗运动理论中的反常问题及原因分析（预印本）

反证法证明布朗运动位移不服从正态分布