要发现创新，首靠脑子，必须有感觉、记忆和同生异长之求同的综合性思维，三者缺一不可。

 “平几棋”，有了方便记忆的 “棋盘”，有了同生异长之求同的“棋规”，剩下的就是要凭自己的感觉去玩发现创新，在发现创新中玩，能从发现创新中来再到发现创新中去。

看图1。A、b两条直线，被第三条直线c所截，就有了如图1所示的∠1、∠2、∠3等八个角。类似这样的图形，简称三线八角。

（图1）

教学过程中，我们可以这样提问学生们：

如图1的三线八角，你们看到了什么，想到了什么？

刚刚学习了邻补角和对顶角，如果又有相应的从形象到抽象的感觉题锻炼，多数学生可以在第一时间里面对这一具体图形，运用这两个知识，列出相应的表达式。

如此，已学已知的邻补角和对顶角的知识感觉，都说出来了。这样的感觉过程，基本是由脑外到脑内的从看到想的活动，很直接。

看图2。在“平几棋盘”中，三线两点的三线八角图形，是仅靠在邻补角和对顶角之后，是包含了这两个图形的，发现创新中要运用到。因此看到三线八角，联想到邻补角和对顶角，比较容易，也是必须有。

（图2）

为了发现新问题，紧接着我们就可以提出：

如图1的三线八角，你们还想到了什么，看到了什么？

就是要让学生们能发现图1中的同位角、内错角和同傍内角等的图形和相应概念。

从图1中按序可以分解出如图3中的一些图形。

（图3）

按形分类，就有了如图4所示了。

（图4）

如图4的归纳，几乎不可能靠邻补角、对顶角等数学概念等的知识感觉去发现，要靠已有的学科学习经验，在这里就是数学学习经验了。比之知识感觉，学习经验是更为抽象了，也是脑子里更为重要的已知信息。

如图5中，类似这种学习经验的信息，不仅仅是需要记忆，必须形成从脑内感到脑外感的很能主动意识性感觉。

（图5）

还如图5中的归纳：要不断发现线线、线角和角角关系，这就是关于平几的学习经验。

我认为，在教学过程中必须引导学生们把学习经验及时归纳出来，要求学生们记到课堂笔记本中，要靠前，方便随时翻看，不断深刻。

从点、线的平几入门教学开始，有了不断发现线线、线角和角角关系的一些具体经历，深刻了意识，在图1中发现同位角、内错角和同傍内角，就比较顺利了。能想到运用已有的线线关系和线角关系等的学习经验，教学引导学生们发现创新出同位角公理等也不是很难。

发现了同位角公理，发现同位角定理就更简单更容易了，只是需要一个逆反的思维方式，几秒钟就可以搞定。

在课堂笔记本中，要把思维方式的内容放在首页，方便学生翻看时能首先看到。

从点线定义的教学开始，我们就可以锻炼学生的逆反思维。教学每一个概念，都需要有这样的思维锻炼的教学。

逆反思维太简单了，习惯了逆反思维能最为有效的产生发现创新。我们都知道，原命题是真命题，逆命题未必就是真命题（关于这个问题，后文再说）。

关于玩感觉，我在这里提出了知识感觉，学科经验和思维方式这三个方面。学科经验和思维方式，在脑子里这是建立起一般感觉是不够的，必须建立起意识性感觉，有思维方向的主动，这是特别宝贵的思维素质。

我提出了“平几棋”的教学概念和具体操作，几天后的新浪网微博上出现了一个视频：比尔盖茨提出知识学习要像玩棋一样。名人不是神，我们也不笨。天分有别，风景各美。感觉有异，机遇皆有。

屠呦呦说：“要把论文变成药”。我们做老师的，最需要做的就是把好的教育教学理念变成教学技术。

比尔盖茨不是基础教育的老师，我是。我和比尔盖茨尽管有了相同的理念（或说灵感），如果我不能把这个理念演变成实实在在的最先进的教学技术，我想到的这个理念就没有意义了。

目标发现创新的基础数学的教和学，要像下棋一样的让学生们去玩，让学生们能学而即创之。比之其它学科，体系性是数学的核心特色，教育教学中要时刻不忘充分利用数学体系这个整体，培育好思维方式、学习经验和知识感觉。目标复习巩固，学而时习之的那一套，不能再搞了。