Zmn-0016(续)一阳生先生提出的疑问

【编者按：一阳生先生又来信，提出了进一步的疑问。请薛问天先生作了进一步的解释和回答。现将来信和回答发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极参与评论。】

一阳生(2197675696@qq.com)2018/11/24的来信：

文清慧老师：(wenqinghui163@163.com)

谢谢文清慧老师和薛老师的回复！下面是我一些进一步的疑问。因为在《数学啄木鸟专栏》无法直接回复，烦请文清慧老师再转发给薛老师。

自然数在集合论的基础上被定义为一些特殊的集合(如∅,{∅,{∅}}等)。自然数的加法(+)能用集合中并(∪)、交(∩)等运算定义吗？如果能具体是什么呢？如果不能我会认为加法(+)仅仅是针对某些特别集合而假设的运算...，不是集合论中的运算或关系所能定义的。

首先我对一些简单的命题思考了一下，如算数1+1=2，算数中的两个“1”不应该是存在意义上同一个“1”，否则加法运算(+)到底具有什么神秘功能能把一个“1”变为“2”呢？

又如1=1，相等应该是二元关系，不应该是同一个对象的自我比较。

以上的思考影响了我对“同一律”的理解：数学世界中至少存在两个在内涵外延上“同一”的对象，而不是存在意义上的“同一个”对象。即“同一”不仅仅指存在意义上的“同一个”对象，也指在内涵外延上“同一”的多个对象。所以允许存在内涵外延上“同一”，甚至表达符号相同的多个对象。

不知道您是否赞同我对“同一律”的理解？

据我有限的知识，数学中没有“相同”这个词语的正式定义！？

一阳生

发自我的iPhone

薛问天先生2018/11/28的回信：

文老师。您好！收到来信、现对一阳生先生的疑问回答如下、

 (一)

先回答这个问题：【自然数的加法(+)能用集合中并(∪)、交(∩)等运算定义吗？如果能具体是什么呢？】

幸亏你这里有个「等」字。如果仅仅用U和∩是表达不了加法运算+的。这里需要一个「单元素集合存在运算{}」，即「如果a是一个集合，则存在一个以a为单一元素的集合：{a}。」

可以证明任何两个自然数的加法运算(+)，都可以由有穷次的并运算(U)和单元集合存在运算({})而得到。

首先，由于α++=aU{a}，因而这就证明了自然数的后继运算a++可以由一次U和一次{}得到。接着，由于加法是在后继运算的基础上由归纳式：0+m=m，(n++)+m=(n+m)++。定义的。由于对任何x=n++，都可以由0经有穷次(n+1次)后继运算而得到，因而x+m就可以由m经有穷次后继运算而得到。

例如，3+m=(((0++)++)++)+m=……=((m++)++)++。

由于前面已经证明后继运算用到一次U和一次{}，因而任何自然数ⅹ加m的运算都可以由有穷次的U和{}而得到。这个证明本身就给出了具体的表示方法。

另外一阳生先生说：【如果不能，我会认为加法(+)仅仅是针对某些特别集合而假设的运算......不是集合论中的运算或关系所能定义的。】这句话不准确。应当这么说：【加法(+)仅仅是针对某些特别集合(即表示自然数的集合)而定义的运算，不是针对集合论中所有集合所定义的运算。】而且理由不是加法【不能】由集合运算表示(实际上己证明可以表示)，这么说根据的关键是，定义加法的归纳式中的x只适合自然数。只有自然数可以表示为n++，而一般的集合保证不了能表示成n++的形式。因而这样定义的加法只适合于特殊的集合，即自然数，而不适合一般的集合。加法是自然数的运算而不是一般集合的运算。但是定义加法的运算(U和{})却都是集合的运算。只是归纳式只适合于自然数而不适于一般的集合。

(二)

关于对逻辑上的「同一律」的理解。我认为一阳生先生的困惑，主耍产生于对「同一性」的相对性没有充分的认识，有些绝对化了。要知道【存在意义上的“同一个”对象】和【在内涵外延上“同一”的多个对象】，对这两个概念的理解不能绝对化。相对于不同的抽象推理层次，有不同的所指。

人的认识和思维有个抽象的过程。任何思维的掀念的形成都是从客观世界中不同的对象中抽象出来的。所谓抽象就是放弃不同的属性，而保留相同的属性。例如「苹果」。相对于客观世界来说，【存在意义上的「苹果」对象】绝不至一个。但相对于概念这个层次，「革果」这个概念(抽象对象)只有一个。数学概念更是如此。自然数「5」是从「5个苹果」、「5栋楼房」……等抽象出来的。苹果和楼房当然不是相同的对象，但是在自然数体系中。5只是一个自然数，只是一个在数学中「存在意义上的对象」。同一律是相对于相应的层次的，在数学中5是同一对象，但是在另外的层次上，我们并不能认为5个苹果同5栋楼房是同一对象。

这种同一性的相对性有时也表现在论证的不同过程和不同的场合下。例如1+1=2。这里的两个1相对于自然数这个层次来说，当然是同一的，它们都是自然数1。但是相对于这个加法式来说就不是同一的。它是两个数在进行相加运算。第一个1是加法的第一运算数，第二个1是第二运算数。因而相对于加法式来说，相对于在加法式的地位来说它们又不是周一的对象。在式子1=1中也有类似的情况。这只要明确你所指的同一性是相对于哪个层次，具有哪个意义，就可以了，这在逻辑上是不会混淆的。

另外一阳生先生说：【数学中没有“相同”这个词语的正式定义】，并不符合事实。在数学中任何一个概念都要通过公理或定义给出该概念的内涵或外延的确切含义。而这就为慨念的「相同」给出了严格的界定。

例如集合论的外延公理和其它公理一起就为集合的「相同」给出了严格的界定和标准。又例如自然数公理规定自然数为由0经有穷次后继运算得到的数。而且规定0是唯一的，相同数的后继也相同。这就对自然数的「相同」给出了严格的标谁。

另外，在数学中对「等价」关系也研究得相当清楚。凡是「相同」关系必须是「等价」关系。当一个关系~滿足自反律(A~A)，对称律(若A~B，则B~A)和传递律(若A~B和B~C则A~C)，则称~是等价关系。当一个系统建立了一个等价关系，相应的等价类就构成一个系统，这个系统就是以~作为元素的「相同」的标准。

例如，在自然数中若以用m相除具有同样余数的数为「相同」的关系，就是个等价关系。在这个等价类系统(模m系统)中就以同余作为「相同」的元素的判断标准。

以上就是我对一阳生先生疑问的两点认识、

薛问天2018/11/28