【编者按：一阳生先生来信，提出了有关学习集合论的四个问题。请薛问天先生进行了详细的解释和回答。现将来信和回答发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极参与评论。】

一阳生(2197675696@qq.com)2018/11/3的来信：

文清慧老师您好！下面是我最近学习遇到的四个问题，想拜托您在评论上发表并转发薛问天老师，期望薛老师能在空闲时给予解答一下，先谢过您和薛老师！

最近不止一次看到类似下面的关于集合论在数学基础中地位的评价：

自然数可能有很多种定义方式，但最严格融洽的一种应该是建立在集合论基础之上。在集合论的观点下，一切数学对象都是集合（事实上都是空集构造出来的），包括自然数也是。0其实是空集，1是{空集}，2是{空集, {空集}}，3是{空集, {空集, {空集}}}……这种集合的集合是一种归纳集，事实上，自然数集被定义为所有归纳集的交集。运算的本质是映射，我们可以通过定义映射重建自然数运算规则，当然要使这些规则和通常的含义一致。利用集合论公理体系，我们为自然数理论提供了坚实的基础，而自然数理论又成为其他数学分支.

我的第一个问题是：类似上面的评价是正确的吗？

在集合论基础上定义的自然数，自然数的加法如何定义呢？

《陶哲轩实分析》中关于自然数加法的定义：设m是自然数.为使m加上零，我们定义0+m:=m.现归纳的假定已定义好如何使m加上n.那么把m加于n++则定义为(n++)+m:=(n+m)++.

我的第三个问题是：加法定义规定加法可以运算两个自然数，而后继运算只能对一个自然数运算；而且规定两自然数相加的结果是自然数(0+m:=m)。所以为什么叫加法定义，而不称呼加法公理或定理呢？

当我重读ZFC集合论各公理(《陶哲轩实分析》中集合论章)的时候产生的一点疑问，这是向您请教的第四个问题。

文中首先定义了集合之相等：两个集合Ａ和B是相等的，Ａ=B，当且仅当Ａ的每个元素都是B的元素而且B的每个元素都是Ａ的元素。

我的理解是:属于(∈)定义了相等(=)。

在论述过空集公理存在之后，论述了单元素和双元素集的存在。若a是一个对象，则存在一个集合{a}，它的唯一的元素是a，也就是说对于每个对象y，有y∈{a}当且仅当y=a。我们把{a}叫做单元素集，其元素是a。进而，若a和b是对象，则存在一个集合{a,b}，其仅有的元素是a和b，也就是说，对于每个对象y，有y∈{a,b}当且仅当y=a或y=b。我们把此集合叫做由a和b构成的双元素集。

单元素集与双元素集公理中规定了“y∈{a,b}当且仅当y=a或y=b”，我的理解是:相等(=)定义了属于(∈)。

我的困惑是:在集合论中属于与相等两种关系，谁是更基本的概念呢？若承认属于是不加定义基本概念，则无法证明:若y=a，则y∈{a}。

一阳生，2018-11-3。

薜问天先生的回复(2018/11/15)

一阳生先生：

收到文请慧老师转来您的信件。现根据我的认识，谈谈我对这四个问题的看法。

(一)  【利用集合论公理体系，我们为自然数理论提供了坚实的基础，而自然数理论又成为其他数学分支。我的第一个问题是：类似上面的评价是正确的吗？，】

我认为把集合论公理体系作为各种数学分支理论的坚实基础的评价沒有错误，是正确的。

因为各种数学对象都可以用「集合」来表示和定义，数学对象之间的关系、运算和规律等都可以用《集合》之间的关系来定义和表达。这样一来各种数学定理就可以归结为集合论中的一个定理。于是集合论的公理体系就成为各数学分支(整个数学)的理理论基础。

自然数理论就是一个典型的例子。所有的自然数都可以表示为某种集合。有关自然数的所有理论都可以归结为集合论的理论。包括全体自然数集合的存在，这都由无穷公理(归纳集合的存在)等公理作出保证。因而集合论是自然数理论的坚实基础。

在这里我们还要注意一点。集合论不仅是那些基于自然数的数学理论分支的理论基础。对于那些与自然数无关的数学理论分支，集合论也仍然是它的理论基础。要知道不仅是自然数，其它的数学对象也都可以用「集合」来表示。

(二)  【在集合论基础上定义的自然数，自然数的加法如何定义呢？】

自然数的加法是在后继运算(即+1运算)的基础上定义的。

如果把n的后继记作n++，则n++定义为nU{n}。这完全是用「集合」定义的。

然后就如同你来信所述，用归纳法来定义x+m。当x=0时，0+m=m。当x为某数n的后继时，即x=n++时，x+m=(n+m)++。这样自然数的加法就完全用「集合」的语言来定义了。

(三)  【为什么叫加法定义，而不称呼加法公理或定理呢？】

这涉及到「定义」、「公理」和「定理」这三个概念之间的区别。

什么是「定义」？定义是用当时己知的概念来表达当时未知概念的含意。在数学中除原始概念以外，所有的概念都需要定义。而原始概念一般出现在公理中，例如集合论中的「集合」这个概念以及「属于(∈)」这个关系是原始概念，不需要定义，而其它的概念都必须用原始概念和已经定义的概念来加以定义。

公理和定理的区别在于公理是不需证明的，是该理论系统假定成立的命题。而定理则是需要用公理和己经证明的定理，经过逻辑推理严格证明出来的命题。

在这里我们要注意，在理论体系中哪些是定义，哪些是公理以及哪些是定理，这并不是绝对的。而取决于你的理论系统的构造。

例如，在实数理论中，如果你把区间套作为实数的定义，那么戴德金分割就是定理。而如果你把戴德金分割作为实数的定义，那么区间套就是定理。这些都是等价的理论体系。

再例如欧氏几何中，你把A：「三角形内角之和等于两个直角」作为公理，那么B：「过直线外一点只有一条该直线的平行线」就是可证明的定理。反之，如果你把B作为公理，A就成为定理。这都不是绝对的，不能说某命题一定是公理而不能是定理。而是取决于你的理论体系的构成。而只能说在某某理论体系中某命题是公理，某命题是定理。

有了上逑理解，就不难回答你的问题。

在你用集合来定义的自然数的理论体系中，加法是如此用归纳法来定义的。在这里，在这个理论体系中，它是定义，而不是公理也不是定理。

但是这并不排斥你在其它定义的自然数系统中，对加法作另外的等价定义。然后把这种归纳式看作定理，证明0+m=m，(n++)+m=(n+m)++。甚至不排斥你可以建立某个关于自然数理论的系统，把此公式看作是加法公理。这不是绝对的，关键是看你如何构建自然数的理论体系。

(四)  【在集合论中属于与相等两种关系，谁是更基本的概念呢？】

首先要弄清，「相等」指的是什么？

在逻辑上有个同一律，如果是同一个对象，它就具有完全一样的属性。如果「相等」指的逻辑上的「同一个对象」，则当然这个「相等」概念是最原始的。

设有a∈S，如果，y同a是同一个对象，显然有y∈S。这个推理同「外延公理」：【Ａ=B，当且仅当Ａ的每个元素都是B的元素而且B的每个元素都是Ａ的元素】没有关系，既使没有外延公理，这个γ∈S也是成立的。

你问题中所说的【相等(=)定义了属于(∈)】的理由，【对于每个对象y，有y∈{a}当且仅当y=a。】和【对于每个对象y，有y∈{a,b}当且仅当y=a或y=b。】都是在这个把「相等」理解为「同一」的情况下来说的。这个「同一」自然是比「属于」更原始的概念。

但是「集合论中的相等(=)」是比「逻辑上的同一」更宽泛的概念。这就是外延公理，把那些并不是「逻辑上同一」的对象，但只要是包含着相同元素的集合，就看作是「集合论中相等」的对象。显然这个「相等」的概念是建立在「属于」的概念之上的。也就是说，在这个意义上，集合论的「属于」比「相等」更基本。

一般讲，在公理中出现的概念都是原始概念。因而在ZFC中的∈和=都是原始概念，不需要定义，但是由于「外延」公理中用到了∈，所以也可以说，∈比=更基本。但是公理系统是建立在逻辑的基础之上的，因而逻辑上的「同一」是比∈和=更为基本的概念。

此外，还要请你注意，你所引用的那些论断，是在说明单元素的集合以及双元素集合的存在，它并不是「属于（∈）」的定义。「属于」是原始概念，不需要定义。

薛问天。2018/11/15

一阳生先生：

我又想了想，上次回答(四)中说【∈比=更基本】，【集合论的「属于」比「相等」更基本】，实际上严格讲是不正确的。一个概念A比另一个概念B【更基本】，是说B的定义要依赖于A。然而∈和=都是原始概念，无需定义，外延公理是公理，不是=的定义，同样二元集合的存在公理是公理，也不是∈的定义，因而不存在「=的定义要依赖∈」的问题。因而不能说【∈比=更基本】，也不能说【=比∈更基本】。
正确的回答是：=和∈是同时出现在ZFC公理系统中的原始概念，不需要定义，因而不存在谁比谁【更基本】的问题。

薛问天2018/11/16。