【编者按：周训伟先生的文章："哥德尔不完全性定理证明有误"，发表于《重庆工业学院学报》第21卷第2期（2007年2月）。该文对著名的哥德尔不完全性定理提出了若干质疑。薛问天撰写此文指出，这些质疑全部都是错误的。】

评周训伟先生关于哥德尔不完全性定理证明的文章。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

在周训伟："哥德尔不完全性定理证明有误"(《重庆工业学院学报》，第21卷第2期，2007年2月)一文中，对著名的哥德尔笫一不完全性定理和第二不完全性定理的证明，提出了若干质疑。这些质疑全部都是错误的，不能成立。错误的原因是由于他对定理证明的原意没有完全理解，源于他的误读。现逐条分析如下。

(一)先评周文中引入记号r′的错误。

我们知道17Genr同Sub(r17z[n])代表的公式是有严格区别的。
若令r表示的是一个含有自变量的公式形式。这个17就代表一个自由变量，例如假定它是x。这个公式用r(x)表示。

那么，根据xGeny的定义：「对公式y中自由变量x的全称概括」，17Genr是公式：(x)r(x)。或写为(Ax)r(x)。这里(x)，(Ax)是全称量词。注：在原证明中全称量词用Π表示，所以也可以写为(Πx)r(x)。

然而Sub(r17z[n])是捋r(x)中的自由变量x代入自然数n的符号表示Z[n]后得出的公式：r(z[n])。对于不同的n有不同的公式。这两者，(x)r(x)同r(z[n])，是截然不同的公式，怎么能用统一的一个记号r′来代表呢？
所以在论述中不要怕麻烦，还是写出原式为宜，以免出错。

(二)再评对(15)和(16)的置疑。

周先生把对证明1)和证明2)的置疑归结为他认为(15)和(16)【是错误的】。
他是根据什么断定(15)和(16)是错误的呢？他说：【式(15)和式(16)是错的，正确的情况是：……】

然后说了一通他认为(15)和(16)应该是什么涵义，而证明中的式(15)和(16)不符合他述说的意思，因而就断定(15)和(16)是错误的。这就犯了严重的逻辑错误。因为(15)和(16)是哥德尔根据他的q和r的定义，严格推导出来的关于这个具体的特殊的r所滿足的规律。要质疑它的正确性，只能指出它推导过程的哪一步有错，而不能根据是否符合质疑者个人的主观想像应该是什么涵义来判断它是否正确。从判定是非的标准上，逻辑上就犯了根本的逻辑上的错误。

更何况他所说的【正确的情况是：……】本身就是错误的。这并不是证明中的(15)和(16)要表达的关于r的规律。这种质疑从另一个方面说明周先生根本就没有看懂定理的证明，没有理解证明中设置(15)和(16)的用意。

例如(15)是说：对这个具体的r来说，如果x不是17Genr的K证明，则Sub(r17z[x])就是K可证的。而周先生却把它理解为后者应当是sub(r17z[x])不是K可证的。根据什么说x不是17Genr的证明，Sub(r17z[x])就不是K可证的？这完全是凭他的错误的想像，不是作者的原义。

周先生又说什么【式(15)中的x是自由的，式(15)不是命题，而是命题函数。而我们只对命题进行讨论。】这是狡辩。推理规律中完全可以有自由变量。例如「如果x是偶数，则x可以被2整除。」这个规律中就含有自由变量x。

另外周先生对(16)所述说的他的涵义也是错误的，不是哥德尔定理的原义。(16)的原义是说：如果x是17Genr的K证明，则Neg(Sub(r17z[x]))是可证的。周先生说，【正确的情况是：如果x是17Genr的K证明的话，那么Sub(r17z[x])是K可证的。】周先生的这句话没有错，但这是对任何r都成立的事实。这并不是定理中(16)要表达的內容。(16)的原义是说，对于这个特殊的r来说，如果x是17Genr的K证明，则Neg(Sub(r17z[x]))是K可证的。从而如果17Genr是K可证的，则可推出Sub(r17z[x])和它的否定都是K可证的，与K的一致性矛盾，从而证明了17Geηr不是K可证的。这才是(16)的原义。周先生没有看懂证明，仅凭不符合他的想像就断定定理出错，这是完全站不住脚的。周先生的对(15)和(16)的置疑不成立。

我们知道(15)和(16)针对是定理证明中定义的r，而r又是由q定义的(12)。而q的定义来源于Q的定义(8.1)。(15)(16)的推导是一步步得出的。

(三)。评对这个推导过程的置疑。

第一点置疑，周先生置疑说：【当我们从公式(8.1)用定理Ⅴ得到式(9)和式(10)时，却是将定理Ⅴ反着用了。】他对(3)的前件是肯定的而(9)的前件是否定的，(4)的前件是否定的而(10)的前件是肯定的，产生了置疑。其实肯定和否定完全是相对的概念，如果Q=乛P，相对于Q是肯定相对于P就是否定，反之亦然。由于定义(8.1)是个否定式：Q=乛P。
Q(x，y)=乛(xBk(Sb(y17z[y])))。

所以相对于Q是肯定，相对于P就是否定。这是理所当然是事，根本不存在【反着用了】的事，不需要产生任何的怀疑。

第二点。(9)和(10)中的q是对应于二元关系Q(x，y)的。y是其中的一个变元，y就是y，而不是乛y。周先生说什么：【如果将q规定为乛y】(9，10)是正确的，而【用q去置换式(9)和式(10)中的y，…时，错误就产生了。】没有任何道理。

哥德尔定理证明中，为了由(9)和(10)得到(15)和‘16)，用p=17Genr来置换式中的变元y。
周先生对此提出了置疑，他说【用p去置换y就意味着y等同于p，式(13)意味着p等同于r′，式(14)意味着r′等同于q。两次使用传递律就得到q等同于y。】【只有当q等同于乛y时，(9)和(10)才是正确的。】于是断定(15)和(16)是错误的。

实际上，p和r同q的关系有明确的定义，它们都是具体的公式。(13)和(14)指的是它们的关系。推导不出周先生说的那个结论，p并不等同于q。用p来置换式中的y，并不等同于用q来置换y。p和q是代表具体的公式的记号。y是二元关系中的变元，根本谈不上q等同于y或乛y的问题。周先生的【只有当q等同于乛y时，(9)和(10)才是正确的。】没有任何道理和根据。

(9，10)中y是二元关系中的一个变元，将y置换为p=17Genr，所得出的(15，16)，是该二元关系的一个具体的体现和应用。这无疑是正确的，没有任何可置疑的地方。所以说周先生的置疑实际上是没有读懂定理的证明，不能成立。

(四)评关于【循环定义】的置疑。

周先生还提出了认为是定理证明中的【一些次要错误】。他认为定义(8.1)中的Sb(y19z[y])，【这实在是用y去定义y中的一个变元，是循环定义。】

其实是周先生考虑得不仔细，这里并不存在循环定义。首先，认定y是一个含有自由变量19的公式，例如若19代表变量t，那么这个公式就是y(t)。其次，这个公式有哥德数n，即z[y]=[n]。这里用[n]表示自然数n的符号表示。最后，将公式y(t)中的自由变量t代入具体的z[y]，即得到公式y([n])，这就是Sb(y19z[y])。注意公式y(t)是含有自由变量的，自然数n是这个公式的哥德尔数。最后得到的公式是y([n])，其中己不含自由变量。这里不存在任何【循环定义】。

(五)。评对于哥德尔第二不完全性定理的质疑。

a，周先生认为式(23)不成立，是因为推导中不仅用到了K的一致性这个假定，还用到了(6.1)和式(16)。这种指责是没有道理的。因为(6.1)是定义，式(16)是推导出的公式，这都不是增添的假定，所以它不影响(23)的成立。

b，周先生认为既使(23)成立，【那么，wImp(17Genr)在p中可证也不成立。】

这直接违背了哥德尔的证明。在证明中由式(23)推出式(24): wjd(k)→(x)Q(x，p)成立。而我们知关系Q(x，y)在系统P中是用q表示的(即如Q(x，y)成立则Sb(q17z[x]19z[y])是可证的)。而关系Q(x，p)是用r表示的。亦即如Q(x，p)成立，则Sb(r17z[x])可证。显然关系(x)Q(x，p)就用 17Genr表示。也就是说，由于wjd(k)→(x)Q(x，p)这个推论成立，所以在系统中用wImp(17Genr)表示的公式是可证的。换句话说，哥德尔定理证明的本身，将其结论用公式表示，就说明wImp(17Genr)在P中是可证的。

17Genr确实是一个自指命题，它的语义就是其本身不可证。但是这并没有逻辑上的错误。认为【17Genr是自指命题，因此wImp(17Genr)是错的。】没有任何根据。

尽管由定义(8.1)很难直接看出17Genr的语义就是17Genr不可证。但它是其中的主要依据，由它和p及r同q的关系不难在几步之内推出它的自指的特性。不能因为你看不出，就断定它不能推出。这是过于武断了。要知道哥德尔定理证明的第一部分就是「如果系统是一致的，则17Genr成立，即17Genr是不可证的。」怎么能说：【wImp(17Genr)是错的】，【wImp(17Genr)在P中可证不成立】。

c，这一条置疑的简直是莫明其妙。在一个系统K中如果A蕴含B(A Imp B)是可证的，而且A是可证的，根据蕴含的推理规则，自然可以推出B是可证的。在证明中明确说明wImp(17Genr)在P中可证，「更不用说K可证了」。怎么还能产生如此荒唐的置疑：【假设wImp(17Genr)在P中可证，那么从w在K中可证明，也推不出17Genr在K中可证明。】
而且这同周先生举的例子：【从人是动物和人会说话，推不出动物会说话。】在逻辑上没有任何相通和可比之处。可见周先生的思维不清晰，逻辑是相当混乱的。

结论。综上所述，无论是对哥德尔的第一还是第二不完性定理的证明，周先生提出的置疑都是不成立的。