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经典文献:两体纠缠的定义与时间反演对称 精选

已有 3868 次阅读 2022-5-28 11:31 |系统分类:科研笔记

量子力学像一幅美丽的画卷,美轮美奂;它又像一个深渊,深不见底。在量子力学中,纠缠和不确定性关系是最让人着迷,也最让人难以理解的概念。不确定关系从它诞生时开始,就已经有很好的定义了。但是纠缠的定义和度量,却要晚得多、难得多、曲折得多。直到今天,多体纠缠还没有很好的定义。

两个粒子是纠缠的,意思是说,我们不能将它们写成波函数的直积的形式

\begin{equation} |\Psi\rangle \ne |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle. \end{equation}

这是一个直观的图像,可以简单理解为两个粒子是完全独立的。反之,如果它可以写成直积的形式,则表示两个粒子是无纠缠的。对于无纠缠的粒子,如果定义$X$和$Y$为某些测量算子,则可能不确定为零: $\Delta X \Delta Y = 0$。更甚,纠缠和不确定性之间有某种密切的关系---这种关系可能很复杂,非三言两语可以解释明白---目前似乎也没有明确结论。

tr2.png

(直观图像:时间反演算子$T = i\sigma_y K$将一个态旋转到它正交的态上)


既然纠缠可以从是否可以写成直积态的形式来定义。那么怎么计算纠缠呢?为此,我们需要利用时间反演算子 $T = i\sigma_y K$,其中$K$为复共轭算子。对于任何一个单粒子态,恒有

\begin{equation} \langle \psi| T | \psi\rangle =0. \end{equation} 所以,这个算子将任何一个态旋转到它的正交态上。对于直积态,比如$|\Psi\rangle = |\uparrow\uparrow\rangle$,  恒有上面的结论. 在《高等量子力学》教材中,这个性质来源于著名的Kramers简并。笔者读Wootters论文时,很久都没有理解它的思想的本质。但当我理解的时候,为他的物理图像所折服,并立刻联想到Eureka(因找到某物,尤指问题的答案而高兴,我发现了,我找到了)。阿基米德在浴缸中发现浮力定律---这个故事应该是后人编造的---就喊出了这个单词。我不知道他是从哪里有了这个启示,但显然,他应该是讲授高等量子力学的,对这个算子非常熟悉(见他的参考文献)。我想他也一定喊出了Eureka这个词。

如果我们定义自旋翻转态(spin flip state)

\begin{equation} |\tilde{\Psi}\rangle = \sigma_y \otimes \sigma_y K | \Psi\rangle=\sigma_y \otimes \sigma_y  | \Psi^*\rangle. \end{equation}

对纠缠,可以定义公生纠缠(Concurrence,所以采用第一个字母 $\mathcal{C}$)

\begin{equation} \mathcal{C} = |\langle |\Psi| \tilde{\Psi}\rangle| \ne 0. \end{equation}

如果考虑一个最大纠缠态,比如 $|\Psi\rangle = ( |\uparrow\uparrow\rangle + |\downarrow\downarrow\rangle)/\sqrt{2}$,我们看到自旋翻转会回初始状态,所以

\begin{equation} \langle \Psi|T|\Psi\rangle = 1. \end{equation}

下面考虑一般的情况。假设这个态为

\begin{equation} |\Psi\rangle = a_1 |00\rangle + a_2 |01\rangle + a_3 |10\rangle + a_4 |11\rangle. \end{equation}

那么

\begin{equation} \mathcal{C} = 2|a_1a_4 - a_2 a_3|.  \end{equation}

我们将其中一个粒子求迹(Trace),得到一个单粒子密度矩阵

\begin{equation} \rho_1 = \text{Tr}_2 |\Psi\rangle \langle \Psi| = \begin{pmatrix}  |a_1|^2 + |a_2|^2  & a_1 a_3^*+ a_2 a_4^* \\  a_3 a_1^* + a_4 a_2^*  & |a_3|^2 + |a_4|^2. \end{pmatrix}. \end{equation}

设这个密度矩阵的本征值为$\lambda_1$和$\lambda_2$, 则纠缠熵可以定义为

\begin{equation} \mathcal{E}(\rho) = - \text{Tr} \rho_1 \log_2 \rho_1 = - p_1 \log_2 p_1 - p_2 \log_2 p_2. \end{equation}

直接计算上面的密度矩阵,可以得到

\begin{equation} p_1 = {1 + \sqrt{1 - \mathcal{C}^2} \over 2}, \quad  p_2 = {1 - \sqrt{1 - \mathcal{C}^2} \over 2}, \quad p_1 + p_2 = 1. \end{equation}

所以, Wootters建立了纠缠熵和共生纠缠之间的关系

\begin{equation} \mathcal{E}(\rho) = h({1 + \sqrt{1-\mathcal{C}^2} \over 2}), \quad h(x) = -x \log_2 x - (1-x) \log_2(1-x). \end{equation} 作为数值检验,取值:

\begin{equation} a_1 = 0.34, \quad a_2 = 0.35 + 0.04i, \quad a_3 = 0.5 + 0.6i, \quad a_4 =  -0.258 + 0.289i. \end{equation}我们得到本征态、共生纠缠和纠缠熵为:

\begin{equation} p_1 =  0.919066, \quad p_2 = 0.08093, \quad \mathcal{C} = 0.545466, \quad  \mathcal{E}(\rho) = 0.40546. \end{equation}

进一步,作者定义

\begin{equation} R = \sqrt{\sqrt{\rho}\tilde{\rho} \sqrt{\rho}}, \quad \tilde{\rho} = \Sigma \rho^* \Sigma, \quad \Sigma =\sigma_y \otimes \sigma_y. \end{equation}

并且证明,如果$R$的本征值从大到小排列为$\lambda_i$($\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \lambda_3 \ge \lambda_4\ge 0$),  那么$\mathcal{C}$等于

\begin{equation} \mathcal{C} = \text{max}(0, \lambda_1 - \lambda_2 - \lambda_3 - \lambda_4). \end{equation}

这个结论在作者推导之前,就已经有人做了大量的数值检验;对混态,我们没有简单的$\mathcal{E}(\rho)$和$\mathcal{C}$的关系;但是上面的表达式,依旧成立。Wootters对这些结论给出了一个详细的证明。对于混态而言,他证明所有的分解给出来的共生纠缠一式为下限

\begin{equation} \mathcal{C}(\rho) \ge \mathcal{C} =  \text{max}(0, \lambda_1 - \lambda_2 - \lambda_3 - \lambda_4). \end{equation}

这是一个漂亮的证明,我们不再重复。这个表达式曾经在一段时期内给出了一个新的现象,即纠缠会忽然死亡 (sudden death)和忽然产生(sudden birth),不过今天已少有人关注了。纠缠的忽然死亡和产生,似乎是一个数学定义而已,目前为止并没有给出新的物理来---似乎本来就不可能有新的物理一样。曾经有一段时间,大家怀疑它是否是某种相变,笔者也怀疑是否有某种标度行为; 没有,后来也就不了了之。

总结一下,Wootters在这篇论文中给出了一个无比简单而聪明的想法,并且它有直观的物理图像。我们看到,同一个反幺正算子,在两个地方开花结果---一个是量子力学中的Kramers简并,一个是量子信息中的两体纠缠。这个巧妙的构造,向我们揭示扎实的理论功底以及直观的物理图像的重要性。在这篇文章总,Wootters引用樱井纯(Sakurrai)的《量子力学》教材,里面对时间反演算子有详细的讨论。教学是提高和加深对物理的基本概念认识的最好方法。在国外,他们每个学期都要上课,而且不能总是上一门课。我猜测,这和这篇经典文献的产生有某种关联。

:对多体问题而言,共生纠缠 $\mathcal{C}$ 也是可以定义的。但我们对它在多体问题中的性质,似乎了解不多。

wootters.png

(图片来自网络: William K. Wootters在量子信息中做出了杰出贡献)

参考文献: William K. Wootters, Entanglement of formation of an arbitrary state of two qubits, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998).  Wootters-1998-Entanglement-PhysRevLett.80.2245.pdf



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2 刘全慧 王安良

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