多体系统是最难处理的，研究了几十年，我们还是不能得到一个系统的、完整的理论来处理它们。维度是一个关键的物理量。

一维系统和高维（$d\ge 2$）系统在相互作用下会有显著差别。高维系统有准粒子（quasiparticle）激发，只是这种粒子因为受到其它粒子的影响，自旋和有效质量有某种变化。但是一维系统，则没有这样的元激发。一维系统中，无论相互作用多么弱，都只有集体激发（collective excitation）。最典型的集体激发就是声子，即所有粒子一起振动/运动。我们甚至可以这样说，一维系统，无论是费米子、玻色子还是任意子（anyon），他们的激发模式都是---也只有---集体激发。对费米子而言，它第一个非费米液体理论，而且是有良好定义的非费米液体理论。玻色化（Bosonization）的历史，可以追溯到1933年Bloch的工作，他发现费米子和玻色子有相同的比热容 $c_v$；其实连配分函数也一样, 即 $Z_\text{F} = Z_\text{B}$。但这个结果有更加深刻的内涵，而不是数学上的巧合。日本物理学家Tomanaga（朝永振一郎）最早意识到了这个关系，1950年在日本的杂志上发表了一篇划时代的论文。十多年后，Luttinger考虑了另外一个可解模型，并于1980年被Haldane命名为Luttinger液体---现在也叫Tomonaga-Luttinger液体。

注：日本科学家在上20世纪上半页就做出了世界级的工作，首先的突破是在数学和物理等理论方面。难能可贵的是，Tomanaga的这篇文章发表在日本的杂志上。如果总结日本在科学上取得的成就，可能有几个重要原因（可能不全面）：第一、普及化的高等教育；第二、和美国、欧洲的普遍的交流；第三、赶上了一个好的时代。中国的杨振宁等人，也是在这个时代做出了伟大的工作。

（Tomonaga原始论文中对普林斯顿大学工作的致谢：他致谢了奥本海默和玻姆；玻姆的量子力学解释中没有用到量子化条件，尽管他将波函数写成$\psi = R e^{i\phi}$； 这样的表示，对费米子的写法要复杂得多，因为费米子对应Grassmann代数。从参考文献，我们可以看到作者受到了玻姆、Bloch等工作的启发。）

什么是玻色子？简单来讲就是费米子的集体激发模式---这个模式对应玻色子。那么费米子为什么会出现玻色子激发呢？这个玻色子，其实就是粒子-空穴对，用数学符号表示，就是

\begin{equation} b_q = \sum_k c_{k}^\dagger c_{k+q}, \end{equation}

其中$b$和$c$分别表示玻色子和费米子算子（下同）。因为粒子和空穴都是费米子（自旋$1/2$），则粒子-空穴对可以认为是玻色子。类似的，库柏对、激子、等离子体激元等等，也是玻色子。Tomonaga应该是第一个意识到$b_q$为玻色子的，这是一个了不起的洞见。

下面以费米子玻色化为例子说明这个问题。我们重点讨论下面的公式的物理意义以及对它的认识

\begin{equation}  \psi = {\eta \over \sqrt{2\pi a}} e^{i\phi}. \end{equation}

这个公式包括如下几个部分：

1. 最小距离截断：在一维系统中，两个粒子不会待在同一个地方，它们的最小尺寸为$a$，此时对应动量的最大值/截断为$\Lambda = \pi/a$。

2. 玻色场 $\phi$的组成：相位场和密度场---它们是共轭的---两部分

   \begin{equation} \phi = \theta(x) + \pi \int_{-\infty}^x \rho(x) dx. \end{equation}

   其中$\theta$是局域相位涨落，$\rho(x)$为密度。在量子力学/二次量子化（Dirac，1927年）中，粒子数和密度是一对共轭量（相当于复数中的幅度$r$和相位$\theta$）。$\phi$为玻色场，它满足玻色子的方程，比如波动方程、sine-Gordon方程等。展开的话

   \begin{equation} \phi(x) = \phi(0) + {N x \over L} + \sum_{q>0} \sqrt{2\pi \over L} e^{iqx} b_q + \text{h.c.},  \quad b_q = \sum_{k} c_{k}^\dagger c_{k+q}. \end{equation}

   可见这个玻色场可以由费米子的粒子-空穴对组成。这个算子的形式是固定的，不会受到相互作用的影响。为了让这个结果是有意义的，必须要能够得到费米子的对易关系，即要求 \begin{equation} [\phi(x), \phi(y)] = i\pi \Theta(x-y). \end{equation} 此外，费米子的两体关联和它对应玻色场的计算结果是一样的

   \begin{equation} \langle \psi^\dagger(x) \psi(y)\rangle = {1\over 4\pi a } \langle e^{-i\phi(x)} e^{i\phi(y)} \rangle  = {i \over 2\pi(x -y - ia)}. \end{equation} 这个结果保证了任意费米子的关联和玻色子方法计算的结果是一样的。

3. $\eta$算子和希尔伯特空间。这个算子起到了两个作用。第一、它可以改变费米子数，这是因为如果$|\psi\rangle \in \mathcal{K}_N$，那么$c|\psi\rangle \in\mathcal{K}_{N-1}$, 其中$\mathcal{K}_N$表示费米子数为 $N$ 的希尔伯特空间。第二、因为不同玻色场是对易的，$\eta$的反对易关系保证不同的费米场是反对易的。为此，假设几个不同的费米场，它们分别对应 $\psi_i$， $\eta_i$和$\phi_i$，其中每个玻色场都是独立的，所以$[\phi_i(x), \phi_j(y)] = i\pi \delta_{ij} \Theta(x-y)$。所以如果要满足反对易关系，则要求\begin{equation} \psi_i(x) \psi_j(y) + \psi_j(y) \psi_i(x) = 0, \quad \eta_i \eta_j = -\eta_j \eta_i. \quad \end{equation}

如果要将费米场用玻色子表示，则至少要求满足下面的几个关系，这也是文献中常常提到的 --- 在一个地方或者几个不同的地方---，但是可能没有明确强调。这不是一个很容易的事情。高维系统也有玻色化，但是它的具体的玻色化方法和本文讨论的不同，我们不讨论。具体而言如下：

1. 利用玻色子的对易关系，可以推导得到费米子的反对易关系；

2. 费米子计算的二体关联函数和玻色子表示计算的二体关联函数完全一样---只有这样，才能保证它们的多体关联也是一样的, 这样我们才可以用玻色场做具体计算，并和费米子的实验结果比较；
   

3. 玻色子和费米子表示的希尔伯特空间，有一一对应的关系；

这些结果，从Tomanaga（1950年），到Luttinger（1963年）, 到Haldane（1979 - 1981年），历经近30年的时间，才最终整理明白，并最终成为一个完整的理论体系。Haldane对这个理论框架有最突出的贡献。此外，很多了不起的物理学家都做出了非常有特色的工作，比如Coleman证明Sine-Gordon模型和Thirring模型的等价性，Witten将玻色化推广到U$(N)$和SU$(N)$场，发展了非阿贝尔玻色化理论，量子Hall效应的提出者Kane则一直从事Luttinger液体的输运研究，等等。

在这些结果中，特别需要强调的是Jordan-Wigner变换。我们要用玻色子表示费米子，存在一个原则性困难，这是因为这两种粒子有完全不同的统计行为。Jordon-Wigner变换提供了一些重要的启示，这个变换说的是费米子和自旋之间的变换关系，\begin{equation} \sigma_i = c_i \exp(i\pi \sum_{j = -\infty}^{i-1} c_j^\dagger c_j). \end{equation} 此外，我们反思二次量子化（Dirac，1927年），可能可以更加清楚地理解这个变换的本质---即如何改变粒子的统计性质。我们看玻色子和费米子的二次量子化

\begin{equation} b_i | \cdots n_i \cdots \rangle \sim |n_i-1\rangle, \quad c_i | \cdots n_i \cdots \rangle \sim \exp(i\pi \sum_{j \le i-1} n_j)|n_i-1\rangle. \end{equation}

这个指数让我们联想到前面玻色化中提到的因子$i\pi \int \rho(x)dx$，我们叫它为弦（String）。50年后（1980年代），分数Hall效应的发现，让大家看到磁场也可以起到类似的作用； 但是它是一个二维的结果，所以我们可以通过磁场实现高维玻色化。因此，磁场中的电子，可以表现出任意子的行为。如果我们将这个变换做稍微改动，就可以表示任意子

\begin{equation}  \psi = {\eta \over \sqrt{2\pi a}} e^{i\nu \phi}. \end{equation}

其中不同的$\nu$（它叫填充因子）可以表示不同的任意子。所以，我们可以用这个方法研究任意子的相互作用和相图。

注：我对分数Hall效应一直有些疑惑，即为什么这些伟大的发现都是首先实验上发现的，而不是理论预言的？我将这个问题暂时存放在此处。

（2022年《拓扑场论II》课程，来自学生拍照）

我在2020年《拓扑场论II》课程中第一次讨论过玻色化，参考的是Shankar的量子场论教材，并讨论了Shanker在无序模型的重要工作；2022年《拓扑场论II》课程中，我更加系统地讨论了玻色化过程，Luttinger液体，以及sine-Gordon模型地重整化。这两次教学方法不同，个人体会也很不相同。第一次比较生疏，细枝末节讨论得少（甚至可能不太清楚），中规中矩；第二次娴熟得多，格局大得多，覆盖面广得多。但还是有些遗憾，每次课后反思，总是觉得有些地方讲得不够透彻，理解不彻底：要不物理图像不太清楚，要不讲课顺序不对，要不应用介绍太少，要不公式推导没有达到本质等等。即便如此，还有很多问题没有讨论：sine-Gordon模型和BKT的关系，Kondo问题，Kane-Fisher的单杂质模型、输运、分数Hall效应等。如果进一步展开，它还和共形场论（CFT）有很大关系。下次讲这门课，是在2024年春季，我可能会涉及上面提到的这些内容，但是很难全部讲完。今年上课有一半一上的内容没有参考教材，只能直接参考原始论文。感谢学生的理解和宽容。

写这篇文章的目的，是因为学生在学习的时候，可能会被玻色化的眼花缭乱的公式吓倒。另外，即便是了解这些公式，也未必真的懂得它的本质，并建立一个直观的图像。这里罗列出一些“重点”，可能对部分学生有点帮助。在准备这些内容的时候，我深有体会，玻色化是一门大学问，有大智慧，需要反复思考其本质；否则，你可能会用它做某些具体的计算，但是未必能真的理解它。可能所有物理都是如此，是为记。

补充材料：玻色化的重要成果一览表

1. 1933年，Bloch意识到一维费米子和玻色子有相同的比热；

2. 1950年，Tomanaga利用Bloch的sound wave（声波）方法讨论了相互作用费米子的玻色化过程；

3. 1963年，Luttinger改进了Tomanaga的方法，提出了一个严格可解模型；

4. 1970年，Solyom等写了一篇长的综述，讨论玻色化在一维模型中的应用；

5. 1974 - 1975年，Luther做了一些工作，把费米子的玻色化问题推广到自旋模型；同时，他计算了吸引相互作用模型的玻色化过程（Luther-Emergy态），此时自旋配对有能隙，电荷没有能隙，为集体激发；

6. 1975年，Sideney Coleman证明量子sine-Gordon模型和有质量Thirring模型的等价性；

7. 1979 - 1980年，Haldane提出了一系列文章，提出Luttinger液体理论，给出了系统化的方法，同时研究了他的希尔伯特空间的对应关系；他是玻色化的集大成者；

8. 1984年, Witten提出非阿贝尔玻色化概念，以及和拓扑的关系，即著名的Wess-Zumino-Witten项；

9. 1992年，Kane, Fisher等人在量子输运方面的工作，以及杂质问题（$d=0$维）的重整化过程，得到了一个新的重整化结果；

   费米子模型、Kondo模型、Kane-Fisher杂质模型中，吸引和排斥相互作用往往有完全不同的行为，这一点从平均场和重整化角度看，都查不多。

10. 20世纪80 - 90年代，玻色化在分数Hall效应边界态上的应用，等等；很多人都有重要的工作，包括文小刚等；

11. 其它方向的发展：比如CFT等。

这些内容构成了一个庞大、自洽的体系，成为了描写低维系统的标准范式，写一本大部头著作都不为过。在低维系统中，我们有些时候还有一些严格可解模型，所以把这些方法的结果做比较（benchmark），也构成了今天很多理论计算的核心目的。

关于Bloch的声波（sound wave）理论的一点注解：

考虑费米子的哈密顿为$H = \sum_{k}v|k| c_k^\dagger c_k$，玻色子的哈密顿$H = \sum_k u |k| b_k^\dagger b_k$，这样可以得到配分函数$Z_\text{F}$和 $Z_\text{B}$，并得到它们的自由能

\begin{equation} F_\text{c} = {\pi^2 \over 12} {1\over 2\pi \beta^2 v}, \quad F_\text{b} = {\pi^2 \over 6} {1\over 2\pi \beta^2 u}. \end{equation}

如果考虑两支费米子，同时$v = u$, 那么它们的自由能是一样的, 同时配分函数相等。这个计算用到了下面的积分等式，它有重要的意义

\begin{equation} \int_0^\infty \ln {1\over 1+ \exp(-x)} = -{\pi^2 \over 12}, \quad \int_0^\infty \ln ({1- \exp(-x)}) =- {\pi^2 \over 6}. \end{equation}

这个笔记2020年3月写了一点，2022年3月陆续总结了一些，并写了一点笔记，2022年5月28日晚上拿出两个小时重新编辑、修改公式和错别字，最终定稿。

Tomonaga原始论文：tomonaga.pdf