龚明物理学博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/skylark1981 用科学的思维理解每天发生的事情

博文

海伦公式的一个注释 精选

已有 3522 次阅读 2022-5-27 07:21 |系统分类:科普集锦

海伦(Heron of Alexandria,公元62年左右,生平不详),古希腊数学家、力学家、机械学家。约公元62年活跃于亚历山大,在那里教过数学、物理学等课程。海伦在论证中大胆使用某些经验性的近似公式,注重数学的实际应用。--- 来自百度百科

据说,海伦公式最早由古希腊数学家阿基米德得出的,但它最早出现在海伦的著作《测地术》中,并在其著作《测量仪器》和《度量数》中给出了它的证明, 所以称为海伦公式。中国秦九韶(1247年)也得出了类似的公式,称三斜求积术,据说和海伦公式等价。这个公式的证明比较复杂,所以一般的教材不会讲。这篇文章给出一个简单、直观的理解(或注释)。

注:这个公式的古老形式值得仔细考证;古代没有根号符号,所以其计算会非常复杂。

假设三角形的边长为$a$, $b$, $c$(见下图),同时令半周长$p = (a+b+c)/2$。设面积为$a$, $b$, $c$和$p$的函数, 所以有

\begin{equation} S = A p^x (p-a)^y (p-b)^y (p-c)^y. \end{equation}

之所以有这个性质,是因为如果$p-a=0$,那么$b+c = a$,此时三角形面积为零。这是面积为零的条件,即三个点共线。此外,轮换性质保证它们的三个指数都一样。下面我们需要待定$A$, $x$和$y$三个参数。我们可以找一些特殊点确定:

  1. 标度性。如果边长扩大$\lambda$倍,面积扩大$\lambda^2$倍,所以$x  + 3y = 2$。这个性质表明,如果面积为$p$的函数,那么它只能是$p^x$的形式,而不能是$p$的其它某个多项式形式。

  2. 考察几个特殊三角形的面积: 直角三角形$a=3$, $b=4$, $c=5$,和正三角形$a=b=c=1$,它们的面积是已知的。

这些特殊形式可以唯一确定海伦公式的形式。这个“证明”(其实是一种理解)可以让学生更加直观地理解这个结果,也充分体现了这个公式背后的对称性。婆罗摩笈多(Brahmagupta)在公元7世纪初的一部论及天文的著作中,给出了边长为$a$、$b$、$c$、$d$的圆内接四边形面积的公式(婆罗摩笈多公式),

\begin{equation} S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}, \quad p = (a+b+c+d)/2. \end{equation}

这个结果也有类似的性质,亦可类似证明。显然,如果其中一条边长度为零,它退化为海伦公式。如果考虑内接五边形等,就没有简单的表达式了。


注:这个学期(2022年春季学期)在上《拓扑场论II》课程,经常会讨论相变和标度不变性。相变点就是标度不变的。看到这个公式,忽然联想到它的对称性和标度性,所以给了上面的注释。本文作者没有考证是否有其他人做过类似解释,想必是有的。是为记。


hailun.png

(图片来自网络)


附件 亚历山大的海伦(公元10 - 85年)是一位数学家、物理学家和工程师,他在亚历山大博物馆教书,写了许多关于几何、工程等方面的书,这些书一直使用到中世纪。他最重要的发明是第一台蒸汽轮机(所以在介绍热力学的时候,是一定会提到他的贡献),其他发明包括寺庙和剧院的自动化机器、测量仪器、军事机器和武器。heron.pdf



https://blog.sciencenet.cn/blog-709494-1340379.html

上一篇:认识一个最简单的费曼图
下一篇:经典文献:两体纠缠的定义与时间反演对称

6 闻宝联 孙冰 刘全慧 彭振华 尤明庆 王安良

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2022-7-2 03:05

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部