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与师生谈研究策略2：突出重围的法门精选

已有 14409 次阅读 2012-10-25 11:17 |系统分类:教学心得

学：学生，教：教师，李：李晓榕。

学：在搞清楚一个问题的同时，不就已经知道这个问题的描述么？

李：未必。问题的描述跟问题本身不是一回事，彼此不一定吻合，经常有些距离，甚至有个鸿沟。先搞清问题，再看描述，看清它们的差异何在、差距多大。对此很多人都不思考，就直接按描述行事。大多数人是在别人的描述下做研究，搞清问题后，就不必如此了。不少时候求解困难、结果不好，根源在于描述不佳。如果另起炉灶，这种困难往往不攻自破。要琢磨问题到底来自何方，搭新炉灶。这种成就往往更大。

学：怎么才能很好地描述一个问题呢？

李：描述意味着把含糊的原始问题用科学语言尽可能明确而无歧义地刻画清楚。合理描述问题如同语言翻译，必须精通两种语言：一是对问题的理解到位，二是掌握好描述工具。深刻理解问题的本质，有赖于工程和应用头脑；熟练掌握、精通相应的工具，属于理论功底。不理解问题的本质就难以很好地界定、描述问题；不能很好地描述，意味着对问题的理解不到位或对描述工具的掌握欠佳。数学家虽然数学好，也往往无法给出这种描述，因为缺第一条。理论功底不好的工程师也无能为力。所以需要两方面都强的人，这种“两栖动物”不多。研究的突破往往有赖于对问题的重新描述。这本质上就是著名科学哲学家库恩（Thomas Kuhn）在《科学革命的结构》中所提出的科学发展的“范式转变”（paradigm shift）的体现。据研究，创造性思维的一大特色就是善于重新定义问题，而不仅仅是接受问题所呈现的方式。这意味着跳出框框，换一个角度提出、思考、解决问题。质疑假设是创造性思维的一部分，创造力强的人质疑人们共有的假设。比如爱因斯坦在这方面就特别出类拔萃。

学：创造性思维还包括哪些内容？

李：思想解放，富于幻想，敢于冒险，不怕讥笑，知难而上，充分自信，刨根问底，等等。如有兴趣，不妨读些这方面的著述，比如《Handbook of Creativity》(《创造力手册》)或《Wisdom,Intelligence and Creativity Synthesized》（《智慧，智力，创造力》）。不过，这方面的研究还不深入，我没见过这方面特别好的书。

学：能不能举例说明一下重新描述的重要性？

李：好的。维纳滤波是四十年代提出的，是一大突破。那时，随机过程还是新生事物，应用不多，维纳研究随机过程和滤波，是开创先驱。维纳滤波适用于平稳过程，不少人想把它推广到非平稳过程，包括模糊数学之父扎德（Lofti Zadeh）等一些大家。这些推广做了十几年，出了不少结果，但效果不太好，并且越来越复杂，难懂而又冗长，后来都被卡尔曼滤波淘汰了，鲜为人知。前面谈选题时说过，“突破-泛滥”是一种常见模式，这又是一例，这也是我后面要说的“高度复杂的必错无疑”的一个例子。卡尔曼另起炉灶，用状态空间这个新框架、新描述，几乎轻而易举地取得了一个重大突破。卡尔曼在近年的一篇文章中提到一个极端的例子：维纳的一位学生用维纳滤波来解决一个问题，写了400多页；他用卡尔曼滤波，几行就解决了。由此看来，维纳滤波的这些研究好像都报废了，其实不尽然。没有这些研究，特别是这么复杂的结果，就不太会有卡尔曼的另起炉灶，至少不会那么快。不过，做这种复杂的研究，虽有一定的警示作用，被人连锅端扔了，确实可惜。我一直是这个观点：繁复的描述和庞杂的结果蕴含着、暗示着突破的机会，而

突出重围的法门就是另起炉灶。

如果在现有框架下结果都很复杂，困难重重，治丝益棼，就该问：是不是框架、描述有毛病、不合适？该不该重起炉灶？重起炉灶成功是大成就，跟找出一个新方法，不是同一个档次。炉灶可大可小，不大的问题也可以另起炉灶。

教：卡尔曼近年还写文章？在那里发表的？

李：是2003年在《Journal of Guidance,Control, and Dynamics》上发表的。这是我所知道的他近年来唯一的文章。总之，当现有解法都不好而且繁复时，或者现有描述有老大难问题，克服方法五花八门，见仁见智，就应考虑另起炉灶，换一个描述或框架。举例来说，在DS证据理论中，为克服Demster组合公式的局限和弊端，各种组合公式如雨后春笋，但都没有也不太可能有坚实的理论基础，因而莫衷一是。我认为，这说明DS证据理论的基本框架有问题。因此，不该限于在现有框架内修改组合公式、打补丁，而应考虑提出能兼顾证据组合的证据理论新框架，该框架应能自然胜任合理的证据组合。附带说一句，国内称Demster组合公式为Demster-Shafer组合公式是不妥的，既与事实不符——Shafer对该公式并无多大贡献，又无谓地与国外通用名称不一致。再如，目标跟踪中的雷达量测转换法,要求算出量测误差的条件均值和方差，缺乏理论支持的方法层见叠出，但其框架缺乏判断优劣的根基。我们认识到这一点，就跳出这一框架，从根源出发，提出了比这些量测转换更好的方法。

学：这么说来，一旦确定了描述，也就指明了解题的方向。

李：对，描述是求解的基础。描述不同，解法也就不同。所以要花大力搞清问题本身，深入探讨描述的好坏，或者自己给出一种描述。人们主要都盯着解法。其实，前面的更根本，一旦有所突破，贡献更大。如果已有的解法很复杂，就应尝试重新描述：寻根究底，跳出框框。

教：怎么重起炉灶呢？有没有比较一般可行的办法？

李：重起炉灶就是重新描述，也就是用本质上更好的新描述来取代旧的描述，它一般基于一个新的框架，也就是用新的基本假设取代旧的。比如，上面说的卡尔曼滤波，就是用状态空间表示来取代维纳滤波的功率谱表示。新的基本假设优于旧的可能在于它更符合我们的目的、手段或工具。至于怎么更好地描述问题，正是我们现在的话题。

学：描述到底是问题指向还是结果指向？

李：两者要兼顾，既要与问题吻合，又要便于求解。如果硬要分轻重，与问题吻合往往比便于求解更要紧。一般来说，

描述应保证足够贴切，并尽可能简易、便于求解。

要求描述与原始问题吻合，很容易理解，但如果太复杂，无法求解，也就没多大用处。如果是一个现象，描述旨在认识，那可以。但是对工程应用科学研究，描述旨在解决问题。有些人理论水平较高，给出的描述与实际问题比较吻合，但过于复杂，比如一个优化问题，其优化指标太复杂，无法求解。

学：怎么度量描述与问题的吻合程度？

李：一般无法定量，只能定性。定量度量要求问题和描述有个共同的量化基础，这一般不现实。定性指的是描述和问题本身有尽可能一一对应的性质。比如问题具有单调性、对称性、可加性、封闭性，那么描述最好也有这些性质。如果问题是离散的，描述也应是离散的。描述应保持或反映原问题的意图等，比如某个量越大越好。实际问题不太可能很简单，描述和解决时要丢卒保帅，以大局为重，不惜牺牲小节，斩断弱耦合。

学：世界到底是不是随机的？我们说它是随机的不过是对它缺乏信息，而且跟一些描述吻合。如果一个问题不是随机的，为什么可以用随机数学来描述?

李：实践检验真理。世界不是我们所说的任何东西，我们把它假设成某个东西，结果好，那就权当如此。一个问题是否用随机描述，主要不看问题到底是否随机，而取决于足够精确的确定性描述及其解法是否太复杂。如果不复杂，一般不该用随机描述；如果复杂，不妨用随机描述。简言之，描述的好坏，虽然可以由它与问题的吻合程度来判断，但归根结底更取决于实践结果的好坏。以离散优化问题为例，确定性描述可能要求从亿万个解中找出最好的。这个要求太苛刻，难于登天，而且得不偿失，因为问题的描述都只是实际问题的某种近似，有必要钻牛角尖，坚持得到这么难的最优解吗？这好比算一个乘积，其中给定的一项只有两位精度，而另一项却要求十位精度。如果用随机描述，这种优化问题往往被简化为要找到某种平均意义上的最优解，也就容易多了。

学：问题的完备描述是不是应该包括评估？评估部分能为求解指出方向。

李：评估部分确实能为求解指明方向，但描述主要是为求解提供基础，如果追求完备，兼顾评估，描述就很可能太复杂而不便求解。就像“一奴事二主”，无所适从。历史上，拉普拉斯先提出极小化误差的绝对值，但往往寸步难行。高斯技高一筹，极小化平方误差，硕果累累，估计理论由此诞生。正因为如此，高斯分布和拉普拉斯分布的区别在于指数上用的是平方差还是绝对差。从评估来说，绝对差比平方差更自然合理，我们的研究表明，它还更少弊端。但是从便于求解来说，平方差远胜于绝对差。所以作为描述，平方差也远优于绝对差。

教：您讲的这些对我触动很大。我们做研究的时间虽长，但层次不高，我觉得根本原因就在于第一和第二阶段没有做好。第一个阶段就是把问题分细，没有找到切入点。第二个就是把问题描述成适合求解的形式做得不好。读完文献后，就急忙做修改了，这只能是跟踪性的研究——跟踪，人家又突破，又跟踪——老是跟在后头，没有多少创新。我觉得这是根本，背后是我们整个指导的滞后。更多是在成果出来以后才跟学生探讨，而在前期关于发现问题、分解问题、描述问题，花的时间不够。更多的是学生自由探索，出的东西水平自然就低。后期不论怎么修改，也不会成为很好的杂志文章，因为层次就决定了。不是写作问题，而是前期指导花的时间不够。

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