数学观念既可超越观察，也可超越经验

武汉理工大学：刘永红

尽管某些东西没有找到它，但数学家可以证明它存在。这是数学用抽象推理去判断得出的结论，这也是数学有别于其他学科的标志之一。

英国著名数学家西尔维斯特（Sylvester）说：“整个数学被三种思想观念统治着，或者说有三个基本概念渗透在整个数学领域中，这三个基本概念就是数、序和空间。事实上，每个数学真理都或者涉及其中之一，或者同时涉及其中之两个，甚或是三者的组合。”这句话颇为精辟。

但是，我们对数学观念可以再仔细的研究一下，因为它代表数学的灵魂或精髓。

我们说数学的观念是远超过观察的。譬如，五角星，它是经过几何学家精心的淘汰、筛选出来的几何图形，并认真研究过，可是在自然界中它并不存在，只有类似物体，如，海星。但在数学里人们可以看到完美的五角星，而且它里面还包含许多有趣的比以及它们的比值均为“黄金数”。开普勒（Kepler）认为，这个神奇的数是几何学的“瑰宝”。在人体、巴黎埃菲铁塔等就蕴藏着0.618•••这个“黄金数”。

在日常生活中，我们知道一个常识：若将n件物品分为m类（m＜n），则至少有两件物品属于一类。这便是数学上著名的“抽屉原理”，数学大师巧妙地运用抽屉原理去解决很多有趣的数学问题。例如：Mersenne数2²⁵⁷−1是合数，然而有没有这些因子呢？人们还不知道，但数学家可以证明它有因子，就是运用“抽屉原理”得出这个“非构造性”的结论，即它不是Mersenne素数（Mersenne prime）。直到20世纪80年代人们利用计算机才找到了它的因子。这个例子有“未卜先知”意味，说明数学的观念是远超过经验的。

数学的“抽象”一方面不容易想像；另一方面无法体验到。说真的，数学有时候不按惯例“出牌”，甚至不跟你讲道理，完全用“证明”说话。例如康托尔（Cantor）证明了无穷之间也有差别。他对集合的研究得出一系列惊人的结果，如无穷集合可有不同的层次等。

如今，我们常被常理之外的数学概念所吸引，不能自拔。例如虚数、超越数等。可是，数学观念是发展变化的，首先找到自己的位置，这是比较现实的，然后超越自我，不在数学观念超越观察超越经验之下。